1998 AIME 第 1 题

Question

有多少个

k

值，使

12^{12}

是正整数

6^6

、

8^8

和

k

的最小公倍数？

For how many values of

k

is

12^{12}

the least common multiple of the positive integers

6^6,

8^8,

and

k?

答案

答案：25

知识点：最小公倍数质因数分解

难度评级：1890

小提示：

把所有数都分解成

2

和

3

的幂：

12^{12} = 2^{24} 3^{12}

，

6^6 = 2^6 3^6

，

8^8 = 2^{24}

Factor everything into powers of

2

and

3:

12^{12} = 2^{24} 3^{12},

6^6 = 2^6 3^6,

8^8 = 2^{24}

大提示：

6^6

和

8^8

的最小公倍数已经提供了

2^{24}

，但只提供

3^6

，所以

k

必须恰好提供

3^{12}

The lcm of

6^6

and

8^8

already supplies

2^{24}

but only

3^6,

so

k

must contribute exactly

3^{12}

解答：

因为

12^{12} = 2^{24} 3^{12}

，

6^6 = 2^6 3^6

，且

8^8 = 2^{24}

，所以

k

不能含有

2

和

3

以外的质因数。设

k = 2^a 3^b

。这三个数的最小公倍数为

2^{\max(24,\,a)} \, 3^{\max(6,\,b)}

。

要等于

2^{24} 3^{12}

，必须有

\max(24, a) = 24

，即

0 \le a \le 24

，并且

\max(6, b) = 12

，即

b = 12

。这样共有

25

种

a

的选择，

b

有一种选择，所以共有

25

个

k

的值。

Since

12^{12} = 2^{24} 3^{12},

6^6 = 2^6 3^6,

and

8^8 = 2^{24},

the number

k

can involve no primes other than

2

and

3,

so write

k = 2^a 3^b.

The least common multiple of the three numbers is then

2^{\max(24,\,a)} \, 3^{\max(6,\,b)}.

Matching this to

2^{24} 3^{12}

requires

\max(24, a) = 24,

i.e.

0 \le a \le 24,

and

\max(6, b) = 12,

i.e.

b = 12.

That gives

25

choices for

a

and one for

b,

so there are

25

values of

k.

1998 AIME 第 1 题

答案：25

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

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