Question

有多少个 $k$ 值，使 $12^{12}$ 是正整数 $6^6$ 、 $8^8$ 和 $k$ 的最小公倍数？

For how many values of $k$ is $12^{12}$ the least common multiple of the positive integers $6^6,$ $8^8,$ and $k?$

答案

答案：25

难度评级：1890

解答：

因为 $12^{12} = 2^{24} 3^{12}$ ， $6^6 = 2^6 3^6$ ，且 $8^8 = 2^{24}$ ，所以 $k$ 不能含有 $2$ 和 $3$ 以外的质因数。设 $k = 2^a 3^b$ 。这三个数的最小公倍数为 $2^{\max(24,\,a)} \, 3^{\max(6,\,b)}$ 。

要等于 $2^{24} 3^{12}$ ，必须有 $\max(24, a) = 24$ ，即 $0 \le a \le 24$ ，并且 $\max(6, b) = 12$ ，即 $b = 12$ 。于是 $a$ 有 $25$ 种选择， $b$ 有一种选择，所以共有 $25$ 个 $k$ 的值。

Since $12^{12} = 2^{24} 3^{12},$ $6^6 = 2^6 3^6,$ and $8^8 = 2^{24},$ the number $k$ can involve no primes other than $2$ and $3,$ so write $k = 2^a 3^b.$ The least common multiple of the three numbers is then $2^{\max(24,\,a)} \, 3^{\max(6,\,b)}.$

Matching this to $2^{24} 3^{12}$ requires $\max(24, a) = 24,$ i.e. $0 \le a \le 24,$ and $\max(6, b) = 12,$ i.e. $b = 12.$ That gives $25$ choices for $a$ and one for $b,$ so there are $25$ values of $k.$

1998 AIME 第 1 题

答案：25

难度评级：1890

解答：

其他年份的第 1 题