Question

设 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 均大于 $1$ ，且 $w$ 为满足下列条件的正数： $\begin{aligned} \log_x w &= 24,\\ \log_y w &= 40,\\ \log_{xyz} w &= 12 \end{aligned}\text{。}$ 求 $\log_z w$ 。

Let $x,$ $y,$ and $z$ all exceed $1$ and let $w$ be a positive number such that $\begin{aligned} \log_x w &= 24,\\ \log_y w &= 40,\\ \log_{xyz} w &= 12. \end{aligned}$ Find $\log_z w.$

答案

答案：60

知识点：对数代数变形

难度评级：1930

小提示：

把每个已知对数改写为以 $w$ 为底的对数

Rewrite each given logarithm with base $w$

大提示：

把 $\log_w(xyz)$ 展开为三个对数之和

Expand $\log_w(xyz)$ as a sum of three logarithms

解答：

对各已知对数取倒数，得到 $\begin{aligned} \log_w x&=\frac1{24},\\ \log_w y&=\frac1{40},\\ \log_w(xyz)&=\frac1{12} \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\log_w z=\frac1{12}-\frac1{24}-\frac1{40} =\frac1{60}\text{。}$ 再取倒数，得到 $\log_z w=60$ 。

Taking reciprocals of the given logarithms gives $\begin{aligned} \log_w x&=\frac1{24},\\ \log_w y&=\frac1{40},\\ \log_w(xyz)&=\frac1{12}. \end{aligned}$ Therefore $\log_w z=\frac1{12}-\frac1{24}-\frac1{40} =\frac1{60}.$ Taking the reciprocal yields $\log_z w=60.$

1983 AIME 第 1 题

答案：60

难度评级：1930

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 1 题