Question

La librería de la Amaco Middle School vende lápices que cuestan un número entero de centavos. Algunos estudiantes de séptimo grado compraron cada uno un lápiz, pagando en total $1.43$ dólares. Algunos de los $30$ estudiantes de sexto grado compraron cada uno un lápiz, y pagaron en total $1.95$ dólares. ¿Cuántos estudiantes de sexto grado más que de séptimo grado compraron un lápiz?

The Amaco Middle School bookstore sells pencils costing a whole number of cents. Some seventh graders each bought a pencil, paying a total of $1.43$ dollars. Some of the $30$ sixth graders each bought a pencil, and they paid a total of $1.95$ dollars. How many more sixth graders than seventh graders bought a pencil?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución:

El número de estudiantes de séptimo grado que compraron un lápiz es $143$ dividido entre el precio de un lápiz. De igual manera, el número de estudiantes de sexto grado que compraron un lápiz es $195$ dividido entre el precio de un lápiz.

Esto significa que el precio de un lápiz divide tanto a $143$ como a $195.$ Factorizando en primos, obtenemos $143 = 11 \cdot 13$ y $195 = 3 \cdot 5 \cdot 13.$ Los únicos números que dividen tanto a $143$ como a $195$ son $1$ y $13.$

Si el precio del lápiz fuera $1$ centavo, eso significaría que $195$ estudiantes de sexto grado compraron lápices, lo cual no es posible. Por lo tanto, el precio de un lápiz es $13$ centavos.

Esto significa que $143 \div 13 = 11$ estudiantes de séptimo grado compraron un lápiz, y $195 \div 13 = 15$ estudiantes de sexto grado compraron un lápiz. Por lo tanto, $4$ estudiantes de sexto grado más que de séptimo grado compraron lápices.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The number of seventh graders that bought a pencil is $143$ divided by the price of a pencil. Similarly, the number of sixth graders that bought a pencil is $195$ divided by the price of a pencil.

This means that the price of a pencil divides both $143$ and $195.$ Prime factorizing, we get $143 = 11 \cdot 13$ and $195 = 3 \cdot 5 \cdot 13.$ The only numbers that divide both $143$ and $195$ are $1$ and $13.$

If $1$ cent was the price of the pencil, that means $195$ sixth graders bought pencils, which is not possible. Therefore, the price of a pencil is $13$ cents.

This means that $143 \div 13 = 11$ seventh graders bought a pencil, and $195 \div 13 = 15$ sixth graders bought a pencil. Therefore, $4$ more sixth graders than seventh graders bought pencils.

Thus, D is the correct answer.

2009 AMC 8 Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años