Question

Los números en las caras de este cubo son números enteros consecutivos. Las sumas de los dos números en cada uno de los tres pares de caras opuestas son iguales. La suma de los seis números de este cubo es

The numbers on the faces of this cube are consecutive whole numbers. The sums of the two numbers on each of the three pairs of opposite faces are equal. The sum of the six numbers on this cube is

$75$

$76$

$78$

$80$

$81$

Solución:

Los seis números consecutivos incluyen $11, 14, 15$ , así que cinco de las caras son $11, 12, 13, 14, 15$ y la sexta es $10$ o $16$ .

Si la sexta fuera $10$ , para que las sumas opuestas sean iguales se forzarían los pares $(10,15), (11,14), (12,13)$ , haciendo que $11$ y $14$ sean opuestas. Pero la figura muestra $11, 14, 15$ encontrándose en un vértice, así que ningún par de ellas es opuesto. Por lo tanto, la sexta cara es $16$ , con los pares $(11,16), (12,15), (13,14)$ , cada uno sumando $27$ .

El total es $3 \cdot 27 = 81$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The six consecutive numbers include $11, 14, 15$ , so five of the faces are $11, 12, 13, 14, 15$ and the sixth is $10$ or $16$ .

If the sixth were $10$ , equal opposite sums would force the pairs $(10,15), (11,14), (12,13)$ , making $11$ and $14$ opposite. But the figure shows $11, 14, 15$ meeting at one corner, so no two of them are opposite. Hence the sixth number is $16$ , with pairs $(11,16), (12,15), (13,14)$ , each summing to $27$ .

The total is $3 \cdot 27 = 81$ .

Thus, the correct answer is E .

1990 AMC 8 Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años