Question

Abby, Bridget y cuatro de sus compañeros se sentarán en dos filas de tres para una foto grupal, como se muestra. $\begin{array}{ccc} \text{\text{X}}&\text{X}&\text{X} \\ \text{X}&\text{X}&\text{X} \end{array}$ Si las posiciones de los asientos se asignan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que Abby y Bridget queden adyacentes en la misma fila o la misma columna?

Abby, Bridget, and four of their classmates will be seated in two rows of three for a group picture, as shown. $\begin{array}{ccc} \text{\text{X}}&\text{X}&\text{X} \\ \text{X}&\text{X}&\text{X} \end{array}$ If the seating positions are assigned randomly, what is the probability that Abby and Bridget are adjacent to each other in the same row or the same column?

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{7}{15}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos dividir el problema en dos casos. En el caso 1, Abby está en uno de los dos asientos del centro, y en el caso 2, está en uno de los 4 asientos exteriores.

Primero observa que hay una probabilidad de $\dfrac26 = \dfrac13$ de que el caso 1 sea cierto (es decir, que Abby esté en los dos asientos del centro). Para que Bridget quede adyacente a Abby en este caso, debe estar en alguno de los dos asientos a la izquierda o los dos a la derecha de Abby, o en la misma columna que ella. Hay $3$ formas de lograrlo entre los $5$ asientos libres posibles, así que la probabilidad de que ocurra es $\frac35$ . Por lo tanto, la probabilidad total de este caso es $\dfrac13 \cdot \dfrac35 = \dfrac{3}{15} .$

Luego observa que hay una probabilidad de $\dfrac46 = \dfrac23$ de que el caso 2 sea cierto (es decir, que Abby esté en los cuatro asientos exteriores). Para que Bridget quede adyacente a Abby en este caso, debe estar en el único asiento junto a Abby en la misma fila, o en la misma columna que Abby. Hay $2$ formas de lograrlo entre los $5$ asientos libres posibles, así que la probabilidad de que ocurra es $\frac25$ . Por lo tanto, la probabilidad total de este caso es $\frac23 \cdot \frac25 = \frac{4}{15} .$

Por lo tanto, la probabilidad final de que ocurra cualquiera de estos casos es $\dfrac{3}{15} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{7}{15} .$

Así, C es la respuesta correcta.

We can split the problem into two cases. In case 1, Abby is in one of the middle two seats, and in case 2, she is in one of the outer 4 seats.

Firstly notice that there is a $\dfrac26 = \dfrac13$ probability of case 1 being true (i.e. Abby is in the middle two seats). For Bridget to be adjacent to Abby in this case, she must be in either of the two seats on the left or the two seats on the right of Abby, or she is in the same column as her. There are $3$ ways to make this happen out of a possible $5$ open seats, so there is a $\frac35$ chance of this happening. Therefore, the total probability of this case is $\dfrac13 \cdot \dfrac35 = \dfrac{3}{15} .$

Next, notice that there is a $\dfrac46 = \dfrac23$ probability of case 2 being true (i.e. Abby is in the outer four seats). For Bridget to be adjacent to Abby in this case, she must either be in the single seat next to Abby in the same row, or she is in the same column as Abby. There are $2$ ways to make this happen out of a possible $5$ open seats, so there is a $\frac25$ chance of this happening. Therefore, the total probability of this case is $\frac23 \cdot \frac25 = \frac{4}{15} .$

Therefore, the final probability of either of these cases happening is $\dfrac{3}{15} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{7}{15} .$

Thus, C is the correct answer.

2018 AMC 8 Problema 11

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 11 en otros años