Question

La media, la mediana y la moda única de los enteros positivos $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $6,$ $7,$ y $x$ son todas iguales. ¿Cuál es el valor de $x$ ?

The mean, median, and unique mode of the positive integers $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $6,$ $7,$ and $x$ are all equal. What is the value of $x?$

$5$

$6$

$7$

$11$

$12$

Respuesta: D

Conceptos:media mediana (datos)moda

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

La moda única debe ser el número repetido de la lista.

The unique mode must be the repeated listed number.

Pista grande:

Si la media es ese número, la suma total queda fija.

If the mean is that number, the total sum is fixed.

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Todos los valores de la lista excepto $6$ aparecen una vez, mientras que $6$ aparece dos veces. Si $x$ fuera igual a otro valor de la lista, habría dos modas y la moda no sería única. Por lo tanto, la moda única debe ser $6$ . Esto también implica que $6$ es la media. Como hay $7$ elementos, la suma es $6\cdot 7 = 42.$ La suma también es $3+4+5+6+6+7+x$ $= 31+x$ $= 42,$ así que $x = 11.$

Así, la respuesta es D.

Every listed value except $6$ appears once while $6$ appears twice. If $x$ equals any of the other listed values, then we have two modes, which means we do not have a unique mode. Otherwise, the only value that shows up more than once is $6$ making that the unique mode. This also means $6$ is the mean. Since there are $7$ elements, the sum of the elements is $6\cdot 7 = 42.$ The sum is also $3+4+5+6+6+7+x$ $= 31+x$ $= 42,$ so $x = 11.$

Thus, the answer is D .

2012 AMC 8 Problema 11