Question

La media armónica de un conjunto de números distintos de cero es el recíproco del promedio de los recíprocos de los números. ¿Cuál es la media armónica de $1,$ $2,$ y $4$ ?

The harmonic mean of a set of non-zero numbers is the reciprocal of the average of the reciprocals of the numbers. What is the harmonic mean of $1,$ $2,$ and $4?$

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{7}{12}$

$\dfrac{12}{7}$

$\dfrac{7}{4}$

$\dfrac{7}{3}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Los recíprocos de $1$ , $2$ y $4$ son $\dfrac11$ , $\dfrac12$ y $\dfrac14$ , respectivamente. El promedio de estos recíprocos es $\begin{align*}\dfrac{\left(1 + \dfrac12 + \dfrac14\right)}{3} &= \dfrac{\left(\dfrac{7}{4}\right)}{3} \\&= \dfrac{7}{12}. \end{align*}$

Como la media armónica es el recíproco del promedio de los recíprocos de los números (que acabamos de calcular como $\dfrac{7}{12}$ ), concluimos que la media armónica es $\dfrac{12}{7}.$

Así, la respuesta correcta es C.

The reciprocals of $1$ , $2$ , and $4$ are $\dfrac11$ , $\dfrac12$ , and $\dfrac14$ , respectively. The average of these reciprocals is $\begin{align*}\dfrac{\left(1 + \dfrac12 + \dfrac14\right)}{3} &= \dfrac{\left(\dfrac{7}{4}\right)}{3} \\&= \dfrac{7}{12}. \end{align*}$

As the harmonic mean is the reciprocal of the average of the reciprocals of the numbers (which we just calculated to be $\dfrac{7}{12}$ ), we conclude that the harmonic mean is $\dfrac{12}{7}.$

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 8 Problema 10

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Solución escrita:

El Problema 10 en otros años