Question

Si

f(x)=3x+2

para todo número real

x,

entonces la afirmación:

«

|f(x)+4|\lt a

siempre que

|x+2|\lt b

,

a\gt0

y

b\gt0

»

es verdadera cuando

If

f(x)=3x+2

for all real

x,

then the statement:

“

|f(x)+4|\lt a

whenever

|x+2|\lt b

and

a\gt0

and

b\gt0

”

is true when

b\le \frac{a}{3}

b\gt \frac{a}{3}

a\le \frac{b}{3}

a\gt \frac{b}{3}

La afirmación nunca es verdadera.

The statement is never true.

Respuesta: A

Conceptos:valor absoluto función desigualdad

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Factoriza

f(x)+4

en términos de

x+2

Factor

f(x)+4

in terms of

x+2

Pista grande:

La condición se convierte en

3|x+2|\lt a

siempre que

|x+2|\lt b

The condition becomes

3|x+2|\lt a

whenever

|x+2|\lt b

Solución:

Tenemos

|f(x)+4|=|3x+6|=3|x+2|.

Si

|x+2|\lt b

y

b\le \frac{a}{3},

entonces

3|x+2|\lt3b\le a,

como se requiere. Si

b\gt \frac{a}{3},

se puede elegir

|x+2|

estrictamente entre

\frac{a}{3}

y

b,

de modo que la afirmación falla. Por tanto, la condición exacta es

b\le \frac{a}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have

|f(x)+4|=|3x+6|=3|x+2|.

If

|x+2|\lt b

and

b\le \frac{a}{3},

then

3|x+2|\lt3b\le a,

as required. If

b\gt \frac{a}{3},

one can choose

|x+2|

strictly between

\frac{a}{3}

and

b,

so the statement fails. Thus the exact condition is

b\le \frac{a}{3}.

Therefore, the correct answer is A.

1974 AMC 12 Problema 27

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 27 en otros años