Question

El triángulo $\triangle ABC$ tiene longitudes de lado $AB = 80,$ $BC = 45,$ y $AC = 75.$ La bisectriz de $\angle B$ y la altura sobre el lado $AB$ se cortan en el punto $P.$ ¿Cuánto vale $BP$ ?

Triangle $\triangle ABC$ has side lengths $AB = 80,$ $BC = 45,$ and $AC = 75.$ The bisector of $\angle B$ and the altitude to side $AB$ intersect at point $P.$ What is $BP?$

$18$

$19$

$20$

$21$

$22$

Respuesta: D

Conceptos:teorema de la bisectriz semejanza persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

Sea $D$ la intersección de la bisectriz de $\angle B$ con $AC.$ Por el teorema de la bisectriz, $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{80}{45},$ y como $AC = 75,$ obtenemos $AD = 48$ y $CD = 27.$ Los triángulos $BCD$ y $ACB$ comparten $\angle C,$ y los lados adyacentes tienen la razón común $\tfrac{45}{75}=\tfrac{27}{45}=\tfrac35,$ así que son semejantes por LAL. Entonces $BD=\tfrac35\cdot80=48=AD,$ por lo que $\triangle ADB$ es isósceles. Sea $\angle DAB=\angle DBA=\theta.$ Como la altura por $C$ es perpendicular a $AB,$ tanto $\angle DPC$ como $\angle DCP$ son $90^\circ-\theta.$ Así, $\triangle CDP$ es isósceles y $PD=CD=27.$ Como $P$ está en $BD,$ tenemos $BP=BD-PD$ , es decir, $=48-27=21.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let the bisector of $\angle B$ hit $AC$ at $D.$ By the Angle Bisector Theorem, $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{80}{45},$ and since $AC = 75,$ we get $AD = 48$ and $CD = 27.$ Triangles $BCD$ and $ACB$ share $\angle C,$ with adjacent sides in the common ratio $\tfrac{45}{75}=\tfrac{27}{45}=\tfrac35,$ so they are similar by SAS. Hence $BD=\tfrac35\cdot80=48=AD,$ making $\triangle ADB$ isosceles. Put $\angle DAB=\angle DBA=\theta.$ Because the altitude through $C$ is perpendicular to $AB,$ both $\angle DPC$ and $\angle DCP$ equal $90^\circ-\theta.$ Thus $\triangle CDP$ is isosceles, so $PD=CD=27.$ Since $P$ lies on $BD,$ we get $BP=BD-PD$ $=48-27=21.$ Thus, D is the correct answer.

2025 AMC 10A Problema 23

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

El Problema 23 en otros años