Question

¿Cuál es la suma de los dígitos del menor primo que puede escribirse como suma de $5$ primos distintos?

What is the sum of the digits of the smallest prime that can be written as a sum of $5$ distinct primes?

$5$

$7$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: B

Conceptos:primo paridad optimización

Nivel de dificultad: 1050

Solución:

Supongamos que $2$ es uno de los cinco primos. Entonces el total es par y mayor que $2,$ así que es compuesto. Eso significa que los cinco primos deben ser impares. Los cinco primos impares más pequeños dan $3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 39$ $= 3 \cdot 13,$ que no es primo. No podemos alcanzar $13$ con cinco primos impares distintos, pero $3 + 5 + 7 + 11 + 17 = 43,$ es primo. Así que el menor primo de este tipo es $17;$ y su suma de dígitos es $4 + 3 = 7.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Suppose $2$ is one of the five primes. Then the total is even and bigger than $2,$ so it is composite. Thus all five primes must be odd. The five smallest odd primes give $3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 39$ $= 3 \cdot 13,$ which is not prime. The next possible sum is obtained by replacing $13$ with the next prime, $17;$ changing any earlier term forces at least as large an increase to keep the primes distinct. This gives $3 + 5 + 7 + 11 + 17 = 43,$ which is prime. Its digit sum is $4 + 3 = 7.$ Thus, B is the correct answer.

2024 AMC 10A Problema 3

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1050

Solución:

El Problema 3 en otros años