Question

Una progresión aritmética tiene $n \gt 3$ términos, término inicial $a,$ y diferencia común $d \gt 1.$ Carl escribió correctamente todos los términos de esta progresión salvo uno, que quedó desviado en $1.$ La suma de los términos que escribió fue $222.$ ¿Cuánto valía $a + d + n$ ?

An arithmetic sequence of positive integers has $n \gt 3$ terms, initial term $a,$ and common difference $d \gt 1.$ Carl wrote down all the terms in this sequence correctly except for one term, which was off by $1.$ The sum of the terms he wrote down was $222.$ What is $a + d + n?$

$24$

$20$

$22$

$28$

$26$

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética Ecuación diofántica factorización en primos

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

La suma verdadera es $S = na + \frac{n(n-1)}{2}d.$ Como un término está desviado en $1,$ el total escrito satisface $222 = S \pm 1,$ así que $S = 221$ o $223.$ Además $2S = n\bigl(2a + (n-1)d\bigr),$ así que $n$ divide a $2S.$ Como $a \ge 1$ y $d \ge 2,$ tenemos $2S \ge 2n^2,$ de donde $n^2 \le S.$ Para $S = 223,$ ningún divisor de $446$ está entre $3$ y $\sqrt{223}.$ Para $S = 221 = 13 \cdot 17,$ el único divisor de $442$ en este rango es $n = 13.$ Así $2a + 12d = 34,$ o $a + 6d = 17.$ Como $a$ y $d$ son enteros positivos con $d \gt 1,$ obtenemos $a = 5,$ $d = 2.$ Entonces $a + d + n = 5 + 2 + 13 = 20.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The true sum is $S = na + \frac{n(n-1)}{2}d.$ Since one term is off by $1,$ the written total satisfies $222 = S \pm 1,$ so $S = 221$ or $223.$ Also $2S = n\bigl(2a + (n-1)d\bigr),$ so $n$ divides $2S.$ Since $a \ge 1$ and $d \ge 2,$ we have $2S \ge 2n^2,$ hence $n^2 \le S.$ For $S = 223,$ no divisor of $446$ lies between $3$ and $\sqrt{223}.$ For $S = 221 = 13 \cdot 17,$ the only divisor of $442$ in this range is $n = 13.$ Thus $2a + 12d = 34,$ or $a + 6d = 17.$ Since $a$ and $d$ are positive integers with $d \gt 1,$ we get $a = 5,$ $d = 2.$ Then $a + d + n = 5 + 2 + 13 = 20.$ Thus, B is the correct answer.

2023 AMC 10B Problema 23

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

El Problema 23 en otros años