2023 AMC 10A Problema 11

Question

Un cuadrado de área

2

está inscrito en un cuadrado de área

3,

lo que crea cuatro triángulos congruentes, como se muestra abajo. ¿Cuál es la razón entre el cateto menor y el cateto mayor en el triángulo rectángulo sombreado?

A square of area

2

is inscribed in a square of area

3,

creating four congruent triangles, as shown below. What is the ratio of the shorter leg to the longer leg in the shaded right triangle?

\dfrac{1}{5}

\dfrac{1}{4}

2 - \sqrt{3}

\sqrt{3} - \sqrt{2}

\sqrt{2} - 1

Respuesta: C

Conceptos:cuadrado (geometría)Teorema de Pitágoras Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Cada triángulo de esquina tiene catetos

a,b

con

a+b=\sqrt3

(un lado del cuadrado grande) y

a^2+b^2=2

(un lado del cuadrado pequeño)

Each corner triangle has legs

a,b

with

a+b=\sqrt3

(a side of the big square) and

a^2+b^2=2

(a side of the small square)

Pista grande:

(a+b)^2-(a^2+b^2)

da

2ab;

entonces

a

y

b

son las raíces de

t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0

(a+b)^2-(a^2+b^2)

gives

2ab;

then

a

and

b

are the roots of

t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0

Solución:

Cada triángulo rectángulo de esquina tiene catetos

a

y

b.

Un lado del cuadrado exterior da

a+b=\sqrt3,

y un lado del cuadrado inscrito da

a^2+b^2=2.

Resta para hallar el producto:

2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)

=3-2

=1,

así que

ab=\tfrac12.

Entonces

a

y

b

son las raíces de

t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0,

es decir

\tfrac{\sqrt3\pm1}{2}.

La razón entre el cateto menor y el mayor es

\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}

=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{2}

=2-\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each corner right triangle has legs

a

and

b.

A side of the outer square gives

a+b=\sqrt3,

and a side of the inscribed square gives

a^2+b^2=2.

Subtract to find the product:

2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)

=3-2

=1,

so

ab=\tfrac12.

Then

a

and

b

are the roots of

t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0,

namely

\tfrac{\sqrt3\pm1}{2}.

The ratio of the smaller leg to the larger is

\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}

=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{2}

=2-\sqrt3.

Thus, C is the correct answer.