Question

Sea $ABCD$ un rombo con $\angle ADC = 46^\circ.$ Sea $E$ el punto medio de $\overline{CD},$ y sea $F$ el punto sobre $\overline{BE}$ tal que $\overline{AF}$ es perpendicular a $\overline{BE}.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle BFC$ ?

Let $ABCD$ be a rhombus with $\angle ADC = 46^\circ.$ Let $E$ be the midpoint of $\overline{CD},$ and let $F$ be the point on $\overline{BE}$ such that $\overline{AF}$ is perpendicular to $\overline{BE}.$ What is the degree measure of $\angle BFC?$

$\ 110$

$\ 111$

$\ 112$

$\ 113$

$\ 114$

Respuesta: D

Conceptos:persecución de ángulos cuadrilátero cíclico ángulo inscrito

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

Prolonguemos $\overline{BE}$ hasta cortar la recta $AD$ en $G.$ Como $AD\parallel BC,$ tenemos $\angle GDE=\angle ECB,$ y $\angle GED=\angle BEC$ son ángulos opuestos por el vértice. Además, $DE=EC,$ así que $\triangle GDE\cong\triangle BCE.$ Por tanto, $DG=BC=AD.$

Entonces $D$ es el punto medio de $\overline{AG}.$ El círculo con centro $D$ que pasa por $A$ también pasa por $C$ y $G.$ Como $AF\perp FG,$ el teorema de Tales coloca también a $F$ en este círculo.

Como $DG$ es opuesto a $DA,$ $\begin{aligned}\angle GDC&=180^\circ-\angle ADC\\&=134^\circ.\end{aligned}$ El ángulo inscrito $\angle GFC$ , que subtiende el arco $GC$ , mide entonces $67^\circ.$ Finalmente, $B,F,G$ son colineales, así que $\angle BFC=180^\circ-67^\circ=113^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta es D.

Extend $\overline{BE}$ to meet line $AD$ at $G.$ Because $AD\parallel BC,$ we have $\angle GDE=\angle ECB,$ and $\angle GED=\angle BEC$ are vertical angles. Also $DE=EC,$ so $\triangle GDE\cong\triangle BCE.$ Hence $DG=BC=AD.$

Thus $D$ is the midpoint of $\overline{AG}.$ The circle centered at $D$ through $A$ also passes through $C$ and $G.$ Since $AF\perp FG,$ Thales' theorem places $F$ on this circle as well.

Because $DG$ is opposite $DA,$ $\begin{aligned}\angle GDC&=180^\circ-\angle ADC\\&=134^\circ.\end{aligned}$ The inscribed angle $\angle GFC$ subtending arc $GC$ is therefore $67^\circ.$ Finally, $B,F,G$ are collinear, so $\angle BFC=180^\circ-67^\circ=113^\circ.$

Thus, the answer is D .

2022 AMC 10B Problema 20

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

El Problema 20 en otros años