Question

Sea $S_n$ la suma de los primeros $n$ términos de una progresión aritmética con diferencia común $2.$ El cociente $\dfrac{S_{3n}}{S_n}$ no depende de $n.$ ¿Cuánto vale $S_{20}$ ?

Let $S_n$ be the sum of the first $n$ terms of an arithmetic sequence that has a common difference of $2.$ The quotient $\dfrac{S_{3n}}{S_n}$ does not depend on $n.$ What is $S_{20}?$

$340$

$360$

$380$

$400$

$420$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

Escribamos el término $n$ -ésimo como $a+2n,$ de modo que el término anterior al primero sea $a.$ Entonces, $\begin{aligned}S_n&=\sum_{i=1}^n(a+2i)\\&=n(a+n+1).\end{aligned}$

Por tanto, $\begin{aligned} \frac{S_{3n}}{S_n}&=\frac{3(a+3n+1)}{a+n+1}\\ &=9-\frac{6(a+1)}{a+n+1}. \end{aligned}$

Para que esta expresión sea independiente de $n,$ el numerador $6(a+1)$ de la última fracción debe ser $0.$ Así, $a=-1.$

Por consiguiente, $S_{20}=20(-1+20+1)=400.$

Así, la respuesta es D.

Write the $n$ th term as $a+2n,$ so the term before the first term is $a.$ Then $\begin{aligned}S_n&=\sum_{i=1}^n(a+2i)\\&=n(a+n+1).\end{aligned}$

Hence $\begin{aligned} \frac{S_{3n}}{S_n}&=\frac{3(a+3n+1)}{a+n+1}\\ &=9-\frac{6(a+1)}{a+n+1}. \end{aligned}$

For this expression to be independent of $n,$ its numerator $6(a+1)$ in the final fraction must be $0.$ Thus $a=-1.$

Therefore, $S_{20}=20(-1+20+1)=400.$

Thus, the answer is D .

2022 AMC 10B Problema 15

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

El Problema 15 en otros años