Question

Se forma una sucesión de cuatro términos sumando cada término de una sucesión aritmética de cuatro términos de enteros positivos con el término correspondiente de una sucesión geométrica de cuatro términos de enteros positivos. Los primeros tres términos de la sucesión resultante de cuatro términos son $57,$ $60,$ y $91.$ ¿Cuál es el cuarto término de esta sucesión?

A four-term sequence is formed by adding each term of a four-term arithmetic sequence of positive integers to the corresponding term of a four-term geometric sequence of positive integers. The first three terms of the resulting four-term sequence are $57,$ $60,$ and $91.$ What is the fourth term of this sequence?

$190$

$194$

$198$

$202$

$206$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión aritmética sucesión geométrica Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2230

Solución:

Sea la sucesión aritmética $a, a + d, a + 2d, a + 3d$ y la sucesión geométrica $b, br, br^2, br^3.$

Entonces $a + b = 57 \tag*{(1)},$ $a + d + br = 60 \tag*{(2)},$ y $a + 2d + br^2 = 91 \tag*{(3)}.$

Al restar $(1)$ de $(2)$ y $(2)$ de $(3),$ obtenemos $d + b(r - 1) = 3$ y $d + br(r - 1) = 31.$

Al restar estas ecuaciones, obtenemos $b(r - 1)^2 = 28.$

Sea $t=b(r-1)=br-b,$ que es un entero. Entonces $t^2=28b,$ así que $t=14u$ y $b=7u^2$ para algún entero no nulo $u.$ Como $a=57-b>0,$ debemos tener $u\in\{-2,-1,1,2\}.$

Ahora, $r=1+t/b=1+2/u.$ Los casos $u=-1$ y $u=-2$ dan $r=-1$ y $r=0,$ respectivamente, por lo que no producen una sucesión geométrica positiva. Si $u=2,$ entonces $b=28, r=2, a=29,$ y $d=3-t=-25,$ lo que hace negativo el tercer término aritmético.

Por tanto, $u=1,$ así que $b = 7, r = 3, a = 50,$ y $d = -11.$ La sucesión aritmética es $50,39,28,17,$ y la geométrica es $7,21,63,189.$

La respuesta pedida es $17 + 189 = 206.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let the arithmetic sequence be $a, a + d, a + 2d, a + 3d$ and the geometric sequence be $b, br, br^2, br^3.$

Then $a + b = 57 \tag*{(1)},$ $a + d + br = 60 \tag*{(2)},$ and $a + 2d + br^2 = 91 \tag*{(3)}.$

Subtracting $(1)$ from $(2)$ and $(2)$ from $(3),$ we get $d + b(r - 1) = 3$ and $d + br(r - 1) = 31.$

Subtracting these, we get $b(r - 1)^2 = 28.$

Let $t=b(r-1)=br-b,$ which is an integer. Then $t^2=28b,$ so $t=14u$ and $b=7u^2$ for some nonzero integer $u.$ Because $a=57-b>0,$ we must have $u\in\{-2,-1,1,2\}.$

Now $r=1+t/b=1+2/u.$ The cases $u=-1$ and $u=-2$ give $r=-1$ and $r=0,$ respectively, so they cannot produce a positive geometric sequence. If $u=2,$ then $b=28, r=2, a=29,$ and $d=3-t=-25,$ making the third arithmetic term negative.

Therefore $u=1,$ so $b = 7, r = 3, a = 50,$ and $d = -11.$ The arithmetic sequence is $50,39,28,17,$ and the geometric sequence is $7,21,63,189.$

The desired answer is $17 + 189 = 206.$

Thus, E is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 20

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2230

Solución:

El Problema 20 en otros años