Question

¿Para cuántos pares ordenados $(b,c)$ de enteros positivos ninguna de las ecuaciones $x^2+bx+c=0$ ni $x^2+cx+b=0$ tiene dos soluciones reales distintas?

For how many ordered pairs $(b,c)$ of positive integers does neither $x^2+bx+c=0$ nor $x^2+cx+b=0$ have two distinct real solutions?

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

Una cuadrática no tiene dos soluciones reales distintas exactamente cuando su discriminante es no positivo. Así, necesitamos es decir, $b^2\le4c$ y $c^2\le4b.$ $b^2-4c\le0\qquad c^2-4b\le0,$

De $b^2\le4c,$ obtenemos $b^4\le16c^2.$ Combinando esto con $c^2\le4b$ se obtiene $b^4\le64b,$ así que $b\le4.$

Ahora comprueba $b=1,2,3,4.$ Las desigualdades dan respectivamente $\begin{gathered} (c=1,2),\quad (c=1,2), \\ \quad (c=3),\quad (c=4). \end{gathered}$

Hay $2+2+1+1=6$ pares ordenados.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

A quadratic fails to have two distinct real solutions exactly when its discriminant is nonpositive. Thus we need $b^2-4c\le0\qquad c^2-4b\le0,$ or $b^2\le4c$ and $c^2\le4b.$

From $b^2\le4c,$ we get $b^4\le16c^2.$ Combining this with $c^2\le4b$ gives $b^4\le64b,$ so $b\le4.$

Now check $b=1,2,3,4.$ The inequalities give respectively $\begin{gathered} (c=1,2),\quad (c=1,2), \\ \quad (c=3),\quad (c=4). \end{gathered}$

There are $2+2+1+1=6$ ordered pairs.

Thus, B is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 20

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

El Problema 20 en otros años