Question

La figura está construida con $11$ segmentos de recta, cada uno de longitud $2.$ El área del pentágono $ABCDE$ se puede escribir como $\sqrt{m} + \sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

The figure below is constructed from $11$ line segments, each of which has length $2.$ The area of pentagon $ABCDE$ can be written as $\sqrt{m} + \sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers. What is $m + n ?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

Respuesta: D

Conceptos:descomposición de áreas triángulo equilátero triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

Sea $F$ el punto sin etiqueta unido a $A,B,$ y $C.$ Como todos los segmentos dibujados miden $2,$ los triángulos $ABF$ y $CBF$ son equiláteros y están a lados opuestos de $BF.$ Por tanto, $\angle ABC=120^\circ,$ así que

$[ABC]=\frac12\cdot2\cdot2\sin120^\circ=\sqrt3.$

El mismo razonamiento al otro lado da $[ADE]=\sqrt3.$ Además, la ley de cosenos en $\triangle ABC$ da $AC^2=12,$ y de modo similar $AD^2=12.$ Entonces la altura del triángulo isósceles $ACD$ a su base $CD=2$ es

$\sqrt{(\sqrt{12})^2-1^2}=\sqrt{11}.$

Por tanto, $[ACD]=\frac12\cdot2\cdot\sqrt{11}=\sqrt{11}.$ El área total del pentágono es

$\sqrt{12}+\sqrt{11},$

así que $m+n=12+11=23.$

Por lo tanto, la respuesta es D.

Let $F$ be the unlabeled point joined to $A,B,$ and $C.$ Because all the drawn segments have length $2,$ triangles $ABF$ and $CBF$ are equilateral and lie on opposite sides of $BF.$ Hence $\angle ABC=120^\circ,$ so

$[ABC]=\frac12\cdot2\cdot2\sin120^\circ=\sqrt3.$

The same reasoning on the other side gives $[ADE]=\sqrt3.$ Also, the Law of Cosines in $\triangle ABC$ gives $AC^2=12,$ and similarly $AD^2=12.$ Thus the altitude of isosceles triangle $ACD$ to its base $CD=2$ is

$\sqrt{(\sqrt{12})^2-1^2}=\sqrt{11}.$

Therefore $[ACD]=\frac12\cdot2\cdot\sqrt{11}=\sqrt{11}.$ The pentagon's total area is

$\sqrt{12}+\sqrt{11},$

so $m+n=12+11=23.$

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Spring Problema 20

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

El Problema 20 en otros años