Question

¿Cuál es el menor valor posible de $(xy-1)^2+(x+y)^2$ para números reales $x$ e $y$ ?

What is the least possible value of $(xy-1)^2+(x+y)^2$ for real numbers $x$ and $y?$

$0$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$2$

Respuesta: D

Conceptos:optimización manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 770

Solución en video:

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Solución escrita:

Al desarrollar, obtenemos Observa que todo cuadrado debe ser no negativo. Por lo tanto, el valor mínimo se alcanza cuando todos los términos salvo el $1$ son $0,$ lo que hace que la suma sea $1.$ $\begin{gathered} x^2y^2 - 2xy + 1 + x^2 + 2xy + y^2 \\ = x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1. \end{gathered}$

Esto se logra cuando $x = y = 0.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Expanding, we get $\begin{gathered} x^2y^2 - 2xy + 1 + x^2 + 2xy + y^2 \\ = x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1. \end{gathered}$ Note that every square must be non-negative. Therefore, the minimum value is when all the terms except $1$ are $0,$ making the sum $1.$

This is attainable when $x = y = 0.$

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 9

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 770

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 9 en otros años