Question

Un sector de tres cuartos de un círculo de radio $4$ pulgadas, junto con su interior, puede enrollarse para formar la superficie lateral de un cono circular recto pegando a lo largo de los dos radios mostrados. ¿Cuál es el volumen del cono en pulgadas cúbicas?

A three-quarter sector of a circle of radius $4$ inches together with its interior can be rolled up to form the lateral surface of a right circular cone by taping together along the two radii shown. What is the volume of the cone in cubic inches?

$3\pi\sqrt{5}$

$4\pi\sqrt{3}$

$3\pi\sqrt{7}$

$6\pi\sqrt{3}$

$6\pi\sqrt{7}$

Respuesta: C

Conceptos:cono desarrollo plano (geometría 3D)Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

El arco del sector se convierte en la circunferencia de la base. Por tanto, si el radio de la base es $r,$ entonces $2\pi r=\frac34(2\pi\cdot4)=6\pi,$ de donde $r=3.$ El radio del sector se convierte en la generatriz del cono, así que la altura del cono es $h=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt7.$

Por consiguiente, el volumen es $\frac13\pi r^2h=\frac13\pi(3)^2\sqrt7=3\pi\sqrt7.$ Así, C es la respuesta correcta.

The sector's arc becomes the base circumference, so if the base radius is $r,$ then $2\pi r=\frac34(2\pi\cdot4)=6\pi,$ giving $r=3.$ The sector radius becomes the cone's slant height, so the cone's height is $h=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt7.$

Hence the volume is $\frac13\pi r^2h=\frac13\pi(3)^2\sqrt7=3\pi\sqrt7.$ Thus, C is the correct answer.

2020 AMC 10B Problema 10

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

El Problema 10 en otros años