Question

Los triángulos rectángulos $T_1$ y $T_2$ tienen áreas $1$ y $2$ , respectivamente. Un lado de $T_1$ es congruente con un lado de $T_2,$ y un lado diferente de $T_1$ es congruente con un lado diferente de $T_2.$ ¿Cuál es el cuadrado del producto de las longitudes de los otros (terceros) lados de $T_1$ y $T_2$ ?

Right triangles $T_1$ and $T_2$ have areas $1$ and $2$ , respectively. A side of $T_1$ is congruent to a side of $T_2,$ and a different side of $T_1$ is congruent to a different side of $T_2.$ What is the square of the product of the lengths of the other (third) sides of $T_1$ and $T_2?$

$\dfrac{28}{3}$

$10$

$\dfrac{21}{2}$

$\dfrac{32}{3}$

$12$

Respuesta: A

Conceptos:triángulo rectángulo Teorema de Pitágoras sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

Sean $a\le b$ las longitudes de los dos lados compartidos. Como los triángulos tienen áreas diferentes, los lados compartidos no pueden desempeñar los mismos papeles en ambos. Así, el triángulo de área $2$ tiene catetos $a$ y $b$ , mientras que el triángulo de área $1$ tiene un cateto $a$ , el otro cateto $\sqrt{b^2-a^2}$ , e hipotenusa $b$ .

El producto de los dos terceros lados no compartidos es $\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2-a^2}$ , cuyo cuadrado es $b^4-a^4$ .

Usando las áreas, $\dfrac{ab}{2}=2$ y $\dfrac{a\sqrt{b^2-a^2}}{2}=1$ . Entonces $a^2b^2=16$ y $a^2(b^2-a^2)=4$ , así que $a^4=12$ . Luego $b^4=\dfrac{256}{12}=\dfrac{64}{3}$ , y $b^4-a^4=\dfrac{28}{3}$ . Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let the two shared side lengths be $a\le b$ . Because the triangles have different areas, the shared sides cannot play the same roles in both triangles. Thus the area- $2$ triangle has legs $a$ and $b$ , while the area- $1$ triangle has leg $a$ , other leg $\sqrt{b^2-a^2}$ , and hypotenuse $b$ .

The product of the two non-shared third sides is $\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2-a^2}$ , whose square is $b^4-a^4$ .

Using the areas, $\dfrac{ab}{2}=2$ and $\dfrac{a\sqrt{b^2-a^2}}{2}=1$ . Hence $a^2b^2=16$ and $a^2(b^2-a^2)=4$ , so $a^4=12$ . Then $b^4=\dfrac{256}{12}=\dfrac{64}{3}$ , and $b^4-a^4=\dfrac{28}{3}$ . Thus, A is the correct answer.

2019 AMC 10B Problema 15

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

El Problema 15 en otros años