Question

¿Cuál es el menor valor posible de donde $x$ es un número real? $\begin{aligned} &(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\\ &\quad+2019, \end{aligned}$

What is the least possible value of $\begin{aligned} &(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\\ &\quad+2019, \end{aligned}$ where $x$ is a real number?

$2017$

$2018$

$2019$

$2020$

$2021$

Respuesta: B

Conceptos:diferencia de cuadrados optimización sustitución

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Multiplicando los dos primeros términos y los dos últimos se obtiene $(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6).$

Observa que estos dos términos difieren en $2.$ Podemos intentar expresarlo como una diferencia de cuadrados, que es $(x^2 + 5x + 5)^2 - 1.$

Sumando $2019$ a esto obtenemos $(x^2 + 5x + 5)^2 + 2018.$

Los cuadrados son no negativos, así que mientras encontremos una forma de hacer que la expresión interior sea $0,$ podemos hacer que el cuadrado sea $0.$

El discriminante es $5^2 - 4 \cdot 5 = 5,$ que es positivo, lo que significa que hay un valor que hace que el cuadrado sea $0.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta. $0^2 + 2018 = 2018.$

Multiplying the first two terms and the last terms yields $(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6).$

Note that these two terms differ by $2.$ We can try to express this as a difference of squares, which is $(x^2 + 5x + 5)^2 - 1.$

Adding $2019$ to this gets us $(x^2 + 5x + 5)^2 + 2018.$

Squares are non-negative, so as long as we find a way to make the inner expression $0,$ we can make the square $0.$

The discriminant is $5^2 - 4 \cdot 5 = 5,$ which is positive meaning that there is a value that makes the square $0.$

This means that the minimum value would be $0^2 + 2018 = 2018.$ Thus, B is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 19

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

El Problema 19 en otros años