Question

¿Para cuántos enteros $x$ el número $x^4-51x^2+50$ es negativo?

For how many integers $x$ is the number $x^4-51x^2+50$ negative?

$8$

$10$

$12$

$14$

$16$

Respuesta: C

Conceptos:factorización desigualdad conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

Primero, observemos que $x^4-51x^2+50$ $= (x^2-50)(x^2-1).$

El producto es negativo exactamente cuando sus dos factores tienen signos opuestos. Como $x^2-50<x^2-1$ , esto exige $x^2-50<0<x^2-1$ . Entonces $1<x^2<50$ , o bien $2\le |x|\le7$ . Hay $6$ soluciones enteras positivas y $6$ negativas, para un total de $12$ .

Así, la respuesta correcta es C.

First, note that $x^4-51x^2+50$ $= (x^2-50)(x^2-1).$

The product is negative exactly when its two factors have opposite signs. Since $x^2-50<x^2-1$ , this requires $x^2-50<0<x^2-1$ . Thus $1<x^2<50$ , or $2\le |x|\le7$ . There are $6$ positive and $6$ negative integer solutions, for a total of $12$ .

Thus, the correct answer is C .

2014 AMC 10B Problema 20

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

El Problema 20 en otros años