2006 AMC 10A Problema 10

Question

¿Para cuántos valores reales de

x

es

\sqrt{120 - \sqrt{x}}

un entero?

For how many real values of

x

is

\sqrt{120 - \sqrt{x}}

an integer?

3

6

9

10

11

Respuesta: E

Conceptos:radical conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Sea

k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}

y acota

k

.

Let

k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}

and bound

k

Pista grande:

k

es un entero con

0 \le k \le 10

.

k

is an integer with

0 \le k \le 10

Solución:

Sea

k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}.

Como

\sqrt{x} \ge 0,

necesitamos

0 \le k \le \sqrt{120},

así que

k \in \{0, 1, \ldots, 10\},

lo que da

11

valores.

Cada

k

produce

\sqrt{x} = 120 - k^2,

y como

120 - k^2

es positivo y estrictamente decreciente, los valores resultantes

x = (120 - k^2)^2

son distintos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}.

Since

\sqrt{x} \ge 0,

we need

0 \le k \le \sqrt{120},

so

k \in \{0, 1, \ldots, 10\},

giving

11

values.

Each

k

yields

\sqrt{x} = 120 - k^2,

and since

120 - k^2

is positive and strictly decreasing, the resulting values

x = (120 - k^2)^2

are distinct.

Thus, the correct answer is E.