Question

Los enteros positivos $A,$ $B,$ $A - B,$ y $A + B$ son todos números primos. La suma de estos cuatro primos es

The positive integers $A,$ $B,$ $A - B,$ and $A + B$ are all prime numbers. The sum of these four primes is

par

even

divisible entre $3$

divisible by $3$

divisible entre $5$

divisible by $5$

divisible entre $7$

divisible by $7$

primo

prime

Respuesta: E

Conceptos:primo paridad

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

Los números $A - B$ y $A + B$ difieren en $2B,$ así que tienen la misma paridad. Como son primos, ambos deben ser impares, lo que obliga a que $A$ y $B$ tengan paridades opuestas.

Como $2$ es el único primo par, se cumple $A=2$ o $B=2.$ El primer caso es imposible porque el primo positivo $B$ haría que $A-B<0.$ Por tanto, $B=2.$

Ahora $A - 2,$ $A,$ y $A + 2$ son tres primos. De cualesquiera tres enteros separados por $2$ , uno es divisible entre $3,$ así que ese número debe ser el propio $3.$ La única posibilidad positiva es $3,5,7.$

Los cuatro primos son $2, 3, 5, 7,$ y su suma es $17,$ que es primo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The numbers $A - B$ and $A + B$ differ by $2B,$ so they have the same parity. Being prime, they must both be odd, which forces $A$ and $B$ to have opposite parity.

Since $2$ is the only even prime, either $A=2$ or $B=2.$ The first case is impossible because the positive prime $B$ would make $A-B<0.$ Hence $B=2.$

Now $A - 2,$ $A,$ and $A + 2$ are three primes. One of any three integers spaced $2$ apart is divisible by $3,$ so that member must itself be $3.$ The only positive possibility is $3,5,7.$

The four primes are $2, 3, 5, 7,$ and their sum is $17,$ which is prime.

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 10B Problema 15

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

El Problema 15 en otros años