1994 AMC 12 第 26 题

Question

一个正

m

边形被

m

个正

n

边形恰好围住（无重叠、无空隙）。（图中所示为

m=4

、

n=8

的情形。）若

m=10

，则

n

的值是多少？

A regular polygon of

m

sides is exactly enclosed (no overlaps, no gaps) by

m

regular polygons of

n

sides each. (Shown here for

m=4,

n=8.

) If

m=10,

what is the value of

n?

5

6

14

20

26

答案：A

知识点：regular polygons interior angles angle sums

难度评级：1900

小提示：

在内侧多边形的每个顶点处，一个正

m

边形内角与两个正

n

边形内角之和为

360^\circ

At each vertex of the inner polygon, one

m

-gon angle and two

n

-gon angles fill

360^\circ

大提示：

使用正

k

边形的内角公式

180^\circ(1-\frac{2}{k})

Use the regular

k

-gon interior angle

180^\circ(1-\frac{2}{k})

解答：

在内侧多边形的一个顶点处，它的内角与周围多边形的两个内角之和为

360^\circ

。因此

\begin{gathered} 180^\circ\left(1-\frac2m\right) \\ {}+2\cdot180^\circ\left(1-\frac2n\right)\\ {}=360^\circ \end{gathered}\text{。}

化简得

\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{1}{2}

。代入

m=10

，得到

\frac{2}{n}=\frac{2}{5}

，所以

n=5

。因此正确答案是 A。

At a vertex of the inner polygon, its interior angle and two angles from the surrounding polygons total

360^\circ.

Thus

\begin{gathered} 180^\circ\left(1-\frac2m\right) \\ {}+2\cdot180^\circ\left(1-\frac2n\right)\\ {}=360^\circ. \end{gathered}

This simplifies to

\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{1}{2}.

With

m=10,

we get

\frac{2}{n}=\frac{2}{5},

so

n=5.

Thus the correct answer is A.

1994 AMC 12 第 26 题

答案：A

难度评级：1900

小提示：

大提示：

解答：

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