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1988 AMC 12 第 27 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

27.

图中，AB⊥BCAB\perp BC、BC⊥CDBC\perp CD，且 BCBC 与以 OO 为圆心、ADAD 为直径的圆相切。在以下哪一种情况下，ABCDABCD 的面积为整数？

In the figure, AB⊥BC,AB\perp BC, BC⊥CD,BC\perp CD, and BCBC is tangent to the circle with center OO and diameter AD.AD. In which one of the following cases is the area of ABCDABCD an integer?

AB=3AB=3，CD=1CD=1

AB=3,AB=3, CD=1CD=1

AB=5AB=5，CD=2CD=2

AB=5,AB=5, CD=2CD=2

AB=7AB=7，CD=3CD=3

AB=7,AB=7, CD=3CD=3

AB=9AB=9，CD=4CD=4

AB=9,AB=9, CD=4CD=4

AB=11AB=11，CD=5CD=5

AB=11,AB=11, CD=5CD=5

答案：D
知识点：circle tangency圆幂trapezoid area
难度评级：2280
小提示：

设切点为 MM，并利用直径在梯形内部构造一个矩形

Let the tangent point be MM and use the diameter to form a rectangle inside the trapezoid

大提示：

利用点 BB 的幂建立 BCBC 的一半与 ABAB、CDCD 之间的关系

Power of point BB relates half of BCBC to ABAB and CDCD

解答：

切点是 BCBC 的中点，由切线与割线的关系可得 (BC2)2=AB⋅CD(\frac{BC}{2})^2=AB\cdot CD。因此 BC=2AB⋅CDBC=2\sqrt{AB\cdot CD}，梯形的面积为 面积=AB+CD2BC=(AB+CD)AB⋅CD。 \begin{aligned} \text{面积} &=\frac{AB+CD}{2}BC\\ &=(AB+CD)\sqrt{AB\cdot CD} \end{aligned}\text{。}只有 AB=9, CD=4AB=9,\ CD=4 能使根号内的乘积为完全平方数；此时面积为 13⋅6=7813\cdot6=78。

因此，正确答案是 D。

The tangent point is the midpoint of BC,BC, and the tangent-secant relation gives (BC2)2=AB⋅CD.(\frac{BC}{2})^2=AB\cdot CD. Thus BC=2AB⋅CD,BC=2\sqrt{AB\cdot CD}, and the trapezoid area is Area=AB+CD2BC=(AB+CD)AB⋅CD. \begin{aligned} \text{Area} &=\frac{AB+CD}{2}BC\\ &=(AB+CD)\sqrt{AB\cdot CD}. \end{aligned} Only AB=9, CD=4AB=9,\ CD=4 makes the product under the radical a square; the area is 13⋅6=78.13\cdot6=78.

Thus the correct answer is D.

第 26 题#26
完整试卷
第 28 题#28

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