1987 AMC 12 第 26 题

Question

把

2.5

均匀随机地分成两个非负实数，例如分成

2.143

与

0.357

，或分成

\sqrt3

与

2.5-\sqrt3

。然后把每个数四舍五入到最接近的整数。例如在第一种情形中得到

2

与

0

，在第二种情形中得到

2

与

1

。这两个整数之和为

3

的概率是多少？

The amount

2.5

is split into two nonnegative real numbers uniformly at random, for instance, into

2.143

and

0.357,

or into

\sqrt3

and

2.5-\sqrt3.

Then each number is rounded to its nearest integer, for instance,

2

and

0

in the first case above,

2

and

1

in the second. What is the probability that the two integers sum to

3?

\frac14

\frac25

\frac12

\frac35

\frac34

答案：B

知识点：continuous probability rounding interval length

难度评级：1980

小提示：

令第一个数为

x

，它在

[0,2.5]

上均匀分布

Let the first number be

x

uniformly distributed on

[0,2.5]

大提示：

找出使

x

与

2.5-x

四舍五入后所得整数之和为

3

的区间

Find the intervals on which

x

and

2.5-x

round to integers whose sum is

3

解答：

令第一部分为

x\in[0,2.5]

，则第二部分为

2.5-x

。忽略概率为零的端点，四舍五入后的两个数之和恰为

3

的条件是

\begin{gathered} \frac12\lt x\lt1\\ \text{或}\\ \frac32\lt x\lt2 \end{gathered}\text{。}

这两个区间的总长度为

1

，而样本区间的长度为

2.5

。因此所求概率为

\frac{1}{2.5}=\frac{2}{5}

。

因此，正确答案是 B。

Let the first part be

x\in[0,2.5],

so the second is

2.5-x.

Ignoring endpoints of probability zero, the rounded values sum to

3

exactly when

\begin{gathered} \frac12\lt x\lt1\\ \text{or}\\ \frac32\lt x\lt2. \end{gathered}

These intervals have total length

1,

out of a sample interval of length

2.5.

The probability is therefore

\frac{1}{2.5}=\frac{2}{5}.

Thus the correct answer is B.

1987 AMC 12 第 26 题

答案：B

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

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