2025 AIME II 第 1 题

Question

六个点

A

、

B

、

C

、

D

、

E

、

F

按这个顺序位于同一直线上。设

G

是不在这条直线上的一点，且

AC = 26

、

BD = 22

、

CE = 31

、

DF = 33

、

AF = 73

、

CG = 40

、

DG = 30

。求

\triangle BGE

的面积。

Six points

A,

B,

C,

D,

E,

and

F

lie in a straight line in that order. Suppose that

G

is a point not on the line and that

AC = 26,

BD = 22,

CE = 31,

DF = 33,

AF = 73,

CG = 40,

and

DG = 30.

Find the area of

\triangle BGE.

答案

答案：468

知识点：坐标几何距离公式三角形面积

难度评级：2010

小提示：

把这条直线放在数轴上，并令

A = 0

；距离

AC

、

BD

、

CE

、

DF

、

AF

会确定每个点的位置

Put the line on a number line with

A = 0;

the distances

AC,

BD,

CE,

DF,

AF

determine every point

大提示：

得到

CD = 14

后，利用

CG = 40

和

DG = 30

求出

G

到直线的高度；

BE

是底边

With

CD = 14,

use

CG = 40

and

DG = 30

to find how high

G

sits above the line;

BE

is the base

解答：

把直线放在数轴上，并令

A = 0

。于是

C = 26

、

E = 26 + 31 = 57

、

F = 73

、

D = 73 - 33 = 40

、

B = 40 - 22 = 18

。

写

G = (x, y)

。由

CG = 40

和

DG = 30

，可得

(x - 26)^2 + y^2 = 1600\text{，}

(x - 40)^2 + y^2 = 900\text{。}

两式相减得

14(2x - 66) = 700

，所以

x = 58

，进而

y^2 = 1600 - 32^2 = 576

，因此

G

到直线的高度为

24

。

因为

B

和

E

都在这条直线上，

BE = 57 - 18 = 39

可作底边，高为

24

，所以面积为

\frac{1}{2} \cdot 39 \cdot 24 = 468

。

Place the line on a number line with

A = 0.

Then

C = 26,

E = 26 + 31 = 57,

F = 73,

D = 73 - 33 = 40,

and

B = 40 - 22 = 18.

Write

G = (x, y).

From

CG = 40

and

DG = 30,

(x - 26)^2 + y^2 = 1600,

(x - 40)^2 + y^2 = 900.

Subtracting gives

14(2x - 66) = 700,

so

x = 58,

and then

y^2 = 1600 - 32^2 = 576,

so

G

is at height

24

above the line.

Since

B

and

E

both lie on the line,

BE = 57 - 18 = 39

is a base with height

24,

so the area is

\frac{1}{2} \cdot 39 \cdot 24 = 468.

2025 AIME II 第 1 题

答案：468

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

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