Question

求正整数有序对 $(m, n)$ 的个数，使得 $m^2 n = 20^{20}$ 。

Find the number of ordered pairs of positive integers $(m, n)$ such that $m^2 n = 20^{20}.$

答案

答案：231

难度评级：1890

解答：

因为 $20^{20} = 2^{40} \cdot 5^{20}$ ，有效的 $m$ 必须形如 $2^a 5^b$ ，此时 $n = 2^{40 - 2a}\,5^{20 - 2b}$ 是正整数，当且仅当 $2a \le 40$ 且 $2b \le 20$ 。反过来，每个这样的选择都可行，并且 $n$ 由 $m$ 唯一确定。

因此 $a$ 可以取 $0, 1, \ldots, 20$ 中任意一个值， $b$ 可以取 $0, 1, \ldots, 10$ 中任意一个值，共有 $21 \cdot 11 = 231$ 个有序对。

Since $20^{20} = 2^{40} \cdot 5^{20},$ a valid $m$ must have the form $2^a 5^b,$ and then $n = 2^{40 - 2a}\,5^{20 - 2b}$ is a positive integer exactly when $2a \le 40$ and $2b \le 20.$ Conversely every such choice works, and $n$ is uniquely determined by $m.$

So $a$ can be any of $0, 1, \ldots, 20$ and $b$ any of $0, 1, \ldots, 10,$ giving $21 \cdot 11 = 231$ ordered pairs.

2020 AIME II 第 1 题

答案：231

难度评级：1890

解答：

其他年份的第 1 题