2011 AIME I 第 1 题

Question

A

瓶中有四升含酸量为

45

% 的溶液。

B

瓶中有五升含酸量为

48

% 的溶液。

C

瓶中有一升含酸量为

k

% 的溶液。从

C

瓶中取出

\frac{m}{n}

升加入

A

瓶，

C

瓶中剩下的溶液加入

B

瓶。最后

A

瓶和

B

瓶中的溶液都含有

50

% 的酸。已知

m

和

n

是互质的正整数，求

k + m + n

。

Jar

A

contains four liters of a solution that is

45

% acid. Jar

B

contains five liters of a solution that is

48

% acid. Jar

C

contains one liter of a solution that is

k

% acid. From jar

C

,

\frac{m}{n}

liters of the solution is added to jar

A

, and the remainder of the solution in jar

C

is added to jar

B

. At the end both jar

A

and jar

B

contain solutions that are

50

% acid. Given that

m

and

n

are relatively prime positive integers, find

k + m + n.

答案

答案：85

知识点：混合问题百分数

难度评级：1950

小提示：

想象把三瓶全部混合在一起：结果是

10

升含酸量为

50

% 的溶液，这可以确定

k

Imagine pouring all three jars together: the result is

10

liters that must be

50

% acid, which determines

k

大提示：

知道

k

后，设加入

A

瓶的量为

x

，并令

A

瓶中的酸量等于新体积的一半

With

k

known, let

x

be the amount added to jar

A

and set jar

A

’s acid equal to half of its new volume

解答：

如果把三瓶全部混合，结果会是

10

升含酸量为

50

% 的溶液，因为最后两瓶都是

50

% 酸。因此总酸量为

5

升，所以

4(0.45) + 5(0.48) + 0.01k = 5

，解得

k = 80

。

现在设从

C

瓶倒入

A

瓶的量为

x

升。

A

瓶于是有

4 + x

升溶液，其中含有

1.8 + 0.8x

升酸，所以

1.8 + 0.8x = 0.5(4 + x)

，得

0.3x = 0.2

，因此

x = \frac{2}{3}

。

所以

m + n = 2 + 3 = 5

，并且

k + m + n = 80 + 5 = 85

。

If all three jars were combined, the result would be

10

liters of

50

% acid, since both final jars are

50

% acid. The total acid is therefore

5

liters, so

4(0.45) + 5(0.48) + 0.01k = 5,

which gives

k = 80.

Now let

x

be the number of liters poured from jar

C

into jar

A

. Jar

A

then holds

4 + x

liters containing

1.8 + 0.8x

liters of acid, so

1.8 + 0.8x = 0.5(4 + x),

giving

0.3x = 0.2,

so

x = \frac{2}{3}.

Thus

m + n = 2 + 3 = 5,

and

k + m + n = 80 + 5 = 85.

2011 AIME I 第 1 题

答案：85

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

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