Question

A 瓶中有四升含酸量为 $45$ % 的溶液。B 瓶中有五升含酸量为 $48$ % 的溶液。C 瓶中有一升含酸量为 $k$ % 的溶液。从 C 瓶中取出 $\frac{m}{n}$ 升加入 A 瓶，C 瓶中剩下的溶液加入 B 瓶。最后 A 瓶和 B 瓶中的溶液都含有 $50$ % 的酸。已知 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $k + m + n$ 。

Jar A contains four liters of a solution that is $45$ % acid. Jar B contains five liters of a solution that is $48$ % acid. Jar C contains one liter of a solution that is $k$ % acid. From jar C, $\frac{m}{n}$ liters of the solution is added to jar A, and the remainder of the solution in jar C is added to jar B. At the end both jar A and jar B contain solutions that are $50$ % acid. Given that $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $k + m + n.$

答案

答案：85

知识点：混合问题百分数

难度评级：1950

解答：

如果把三瓶全部混合，结果会是 $10$ 升含酸量为 $50$ % 的溶液，因为最后两瓶都是 $50$ % 酸。因此总酸量为 $5$ 升，所以 $4(0.45) + 5(0.48) + 0.01k = 5$ ，解得 $k = 80$ 。

现在设从 C 瓶倒入 A 瓶的量为 $x$ 升。A 瓶于是有 $4 + x$ 升溶液，其中含有 $1.8 + 0.8x$ 升酸，所以 $1.8 + 0.8x = 0.5(4 + x)$ ，得 $0.3x = 0.2$ ，因此 $x = \frac{2}{3}$ 。

所以 $m + n = 2 + 3 = 5$ ，并且 $k + m + n = 80 + 5 = 85$ 。

If all three jars were combined, the result would be $10$ liters of $50$ % acid, since both final jars are $50$ % acid. The total acid is therefore $5$ liters, so $4(0.45) + 5(0.48) + 0.01k = 5,$ which gives $k = 80.$

Now let $x$ be the number of liters poured from jar C into jar A. Jar A then holds $4 + x$ liters containing $1.8 + 0.8x$ liters of acid, so $1.8 + 0.8x = 0.5(4 + x),$ giving $0.3x = 0.2,$ so $x = \frac{2}{3}.$

Thus $m + n = 2 + 3 = 5,$ and $k + m + n = 80 + 5 = 85.$

2011 AIME I 第 1 题

答案：85

难度评级：1950

解答：

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