Question

设 $N$ 是最大的整数，它是 $36$ 的倍数，所有数字都是偶数，且任意两个数字都不相同。求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。

Let $N$ be the greatest integer multiple of $36$ all of whose digits are even and no two of whose digits are the same. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

答案

答案：640

知识点：整除性数字

难度评级：1890

解答：

因为 $36 = 4 \cdot 9$ ，数 $N$ 必须同时能被 $4$ 和 $9$ 整除。它的数字是 $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ 中互不相同的元素，这些数字总和为 $20$ ，所以 $N$ 不能使用全部五个数字。数字和必须是 $9$ 的倍数，并且是偶数，所以必须是 $18$ ；唯一可能的数字集合是 $\{4, 6, 8\}$ 和 $\{0, 4, 6, 8\}$ 。

由 $\{0, 4, 6, 8\}$ 组成的最大数是 $8640$ ，末两位 $40$ 是 $4$ 的倍数。所以 $N = 8640$ ，除以 $1000$ 的余数是 $640$ 。

Since $36 = 4 \cdot 9,$ the number $N$ must be divisible by both $4$ and $9.$ Its digits are distinct members of $\{0, 2, 4, 6, 8\},$ whose total is $20,$ so $N$ cannot use all five. The digit sum must be a multiple of $9,$ and being even it must be $18;$ the only such digit sets are $\{4, 6, 8\}$ and $\{0, 4, 6, 8\}.$

The largest number formed from $\{0, 4, 6, 8\}$ is $8640,$ which ends in $40,$ a multiple of $4.$ So $N = 8640,$ and the remainder upon division by $1000$ is $640.$

2010 AIME II 第 1 题

答案：640

难度评级：1890

解答：

其他年份的第 1 题