2006 AIME I 第 1 题

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1.

在四边形

ABCD

中，

\angle B

是直角，对角线

\overline{AC}

垂直于

\overline{CD}

，且

AB = 18

、

BC = 21

、

CD = 14

。求四边形

ABCD

的周长。

In quadrilateral

ABCD,

\angle B

is a right angle, diagonal

\overline{AC}

is perpendicular to

\overline{CD},

AB = 18,

BC = 21,

and

CD = 14.

Find the perimeter of

ABCD.

答案

答案：84

知识点：勾股定理周长

难度评级：1790

小提示：

对角线

\overline{AC}

把四边形分成两个共用

AC

的直角三角形

Diagonal

\overline{AC}

splits the quadrilateral into two right triangles that share

AC

大提示：

两次使用勾股定理：

DA^2 = (AB^2 + BC^2) + CD^2

Apply the Pythagorean theorem twice:

DA^2 = (AB^2 + BC^2) + CD^2

解答：

三角形

ABC

在

B

处为直角，所以

AC^2 = 18^2 + 21^2 = 765

。三角形

ACD

在

C

处为直角，所以

DA^2 = AC^2 + CD^2

= 765 + 196 = 961

，得

DA = 31

。

周长为

18 + 21 + 14 + 31 = 84

。

Triangle

ABC

is right-angled at

B,

so

AC^2 = 18^2 + 21^2 = 765.

Triangle

ACD

is right-angled at

C,

so

DA^2 = AC^2 + CD^2

= 765 + 196 = 961,

giving

DA = 31.

The perimeter is

18 + 21 + 14 + 31 = 84.