2000 AIME II 第 1 题

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1.

数

\frac{2}{\log_4 2000^6} + \frac{3}{\log_5 2000^6}

可写成

\frac{m}{n}

，其中

m

和

n

是互质正整数。求

m + n

。

The number

\frac{2}{\log_4 2000^6} + \frac{3}{\log_5 2000^6}

can be written as

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

答案

答案：7

知识点：对数

难度评级：1890

小提示：

用

\frac{1}{\log_b a} = \log_a b

，把两项都改写成以

2000^6

为底的对数。

Use

\frac{1}{\log_b a} = \log_a b

to rewrite both terms as logarithms with base

2000^6

大提示：

这个和变为

\log_{2000^6}(4^2 \cdot 5^3)

，而

4^2 \cdot 5^3 = 2000

。

The sum becomes

\log_{2000^6}(4^2 \cdot 5^3),

and

4^2 \cdot 5^3 = 2000

解答：

因为

\frac{1}{\log_b a} = \log_a b

，两项分别等于

2\log_{2000^6} 4 = \log_{2000^6} 16

和

3\log_{2000^6} 5 = \log_{2000^6} 125

。它们的和为

\begin{aligned} \log_{2000^6}(16 \cdot 125) &= \log_{2000^6} 2000 \\ &= \frac{1}{6} \end{aligned}\text{。}

因为

\gcd(1, 6) = 1

，所以

m + n = 1 + 6 = 7

。

Since

\frac{1}{\log_b a} = \log_a b,

the two terms equal

2\log_{2000^6} 4 = \log_{2000^6} 16

and

3\log_{2000^6} 5 = \log_{2000^6} 125.

Their sum is

\begin{aligned} \log_{2000^6}(16 \cdot 125) &= \log_{2000^6} 2000 \\ &= \frac{1}{6}. \end{aligned}

Since

\gcd(1, 6) = 1,

the answer is

m + n = 1 + 6 = 7.