Question

求最小正整数 $n$ ，使得无论怎样把 $10^n$ 表示为两个正整数的乘积，这两个整数中至少有一个含有数字 $0$ 。

Find the least positive integer $n$ such that no matter how $10^n$ is expressed as the product of any two positive integers, at least one of these two integers contains the digit $0.$

答案

答案：8

知识点：质因数分解数字

难度评级：2110

解答：

任意因式分解可写为 $10^n = (2^x 5^y)(2^{n-x} 5^{n-y})$ 。若某因子同时被 $2$ 和 $5$ 整除，它就是 $10$ 的倍数，末位为 $0$ 。所以，要使两个因子都不含数字零，唯一可能的分解是 $10^n = 2^n \cdot 5^n$ ，我们要找最小的 $n$ ，使得 $2^n$ 或 $5^n$ 含有数字 $0$ 。

$2^1, \ldots, 2^8$ 为 $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256$ ，均不含零。 $5^1, \ldots, 5^7$ 为 $5, 25, 125, 625$ 、 $3125, 15625, 78125$ ，均不含零，但 $5^8 = 390625$ 含有 $0$ 。

因此 $10^8$ 的每个分解都含有一个带数字 $0$ 的因子，而 $10^7 = 2^7 \cdot 5^7 = 128 \cdot 78125$ 不满足条件。答案是 $8$ 。

Every factorization is $10^n = (2^x 5^y)(2^{n-x} 5^{n-y}).$ If a factor is divisible by both $2$ and $5,$ it is a multiple of $10$ and ends in the digit $0.$ So the only possible zero-free factorization is $10^n = 2^n \cdot 5^n,$ and we need the least $n$ for which $2^n$ or $5^n$ contains a digit $0.$

The powers $2^1, \ldots, 2^8$ are $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256$ — no zeros. The powers $5^1, \ldots, 5^7$ are $5, 25, 125, 625,$ $3125, 15625, 78125$ — no zeros — but $5^8 = 390625$ contains a $0.$

Hence every factorization of $10^8$ contains a digit $0,$ while $10^7 = 2^7 \cdot 5^7 = 128 \cdot 78125$ does not, so the answer is $8.$

2000 AIME I 第 1 题

答案：8

难度评级：2110

解答：

其他年份的第 1 题