1998 AMC 8 Problema 12

Question

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

\begin{aligned} &2\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+3\left(1-\dfrac{1}{3}\right) \\ &\quad {}+4\left(1-\dfrac{1}{4}\right)+\cdots \\ &\quad {}+10\left(1-\dfrac{1}{10}\right) \end{aligned}

What is the value of the following expression?

\begin{aligned} &2\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+3\left(1-\dfrac{1}{3}\right) \\ &\quad {}+4\left(1-\dfrac{1}{4}\right)+\cdots \\ &\quad {}+10\left(1-\dfrac{1}{10}\right) \end{aligned}

45

49

50

54

55

Simplifica cada término

n(1-\frac{1}{n})

Simplify each term

n(1-\frac{1}{n}).

Los términos se convierten en enteros consecutivos

The terms become consecutive integers.

Para cada entero

n

desde

2

hasta

10,

n\left(1-\frac{1}{n}\right)=n-1.

La expresión es entonces

1+2+\cdots+9=45.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For each integer

n

from

2

through

10,

n\left(1-\frac{1}{n}\right)=n-1.

The expression is therefore

1+2+\cdots+9=45.

Thus, the correct answer is A .

El Problema 12 en otros años