1999 AMC 12 Problema 27

Question

En el triángulo

ABC,

3\sin A + 4\cos B = 6

y

4\sin B + 3\cos A = 1.

Entonces

\angle C

en grados es

In triangle

ABC,

3\sin A + 4\cos B = 6

and

4\sin B + 3\cos A = 1.

Then

\angle C

in degrees is

30

60

90

120

150

Respuesta: A

Conceptos:identidad trigonométrica sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Eleva al cuadrado ambas ecuaciones y súmalas.

Square both equations and add them

Pista grande:

Usa

\sin^2 + \cos^2 = 1

para obtener

\sin(A + B),

luego descarta un caso.

Use

\sin^2 + \cos^2 = 1

to get

\sin(A + B),

then rule out one case

Solución:

Elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumando se obtiene

\begin{aligned} &9 + 16 \\ &\quad {}+ 24\small(\sin A \cos B + \cos A \sin B) \\ &\quad = 37, \end{aligned}

así que

24\sin(A + B) = 12

y

\sin(A + B) = \tfrac12.

Entonces

\sin C = \sin(A + B) = \tfrac12,

así que

\angle C = 30^\circ

o

150^\circ.

Si

\angle C = 150^\circ,

entonces

A \lt 30^\circ,

haciendo que

3\sin A + 4\cos B \lt 6,

una contradicción. Por lo tanto

\angle C = 30^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Squaring both equations and adding gives

\begin{aligned} &9 + 16 \\ &\quad {}+ 24\small(\sin A \cos B + \cos A \sin B) \\ &\quad = 37, \end{aligned}

so

24\sin(A + B) = 12

and

\sin(A + B) = \tfrac12.

Then

\sin C = \sin(A + B) = \tfrac12,

so

\angle C = 30^\circ

or

150^\circ.

If

\angle C = 150^\circ,

then

A \lt 30^\circ,

making

3\sin A + 4\cos B \lt 6,

a contradiction. Hence

\angle C = 30^\circ.

Thus, the correct answer is A.