1997 AMC 12 Problema 27

Question

Considera las funciones

f

que satisfacen

f(x+4)+f(x-4)=f(x)

para todo

x

real. Cada una de esas funciones es periódica, y existe un menor período positivo común

p

para todas ellas. Halla

p.

Consider those functions

f

that satisfy

f(x+4)+f(x-4)=f(x)

for all real

x.

Any such function is periodic, and there is a least common positive period

p

for all of them. Find

p.

8

12

16

24

32

Para un

x

fijo, estudia la sucesión

u_n=f(x+4n)

For fixed

x

, study the sequence

u_n=f(x+4n)

Usa repetidamente

u_{n+1}+u_{n-1}=u_n

para averiguar cuándo regresa cada par inicial

Use

u_{n+1}+u_{n-1}=u_n

repeatedly to find when every initial pair returns

Para

u_n=f(x+4n),

la ecuación es

u_{n+1}=u_n-u_{n-1}.

A partir de

u_0,u_1,

la sucesión es

\begin{gathered} u_0,u_1,u_1-u_0,-u_0,\\ -u_1,u_0-u_1,u_0,u_1,\ldots, \end{gathered}

por lo que toda función de este tipo tiene período

6\cdot4=24.

Este es el menor posible porque

f(x)=\sin(\frac{\pi x}{12})

satisface la ecuación y tiene período fundamental

24.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

For

u_n=f(x+4n),

the equation is

u_{n+1}=u_n-u_{n-1}.

Starting from

u_0,u_1,

the sequence is

\begin{gathered} u_0,u_1,u_1-u_0,-u_0,\\ -u_1,u_0-u_1,u_0,u_1,\ldots, \end{gathered}

so every such function has period

6\cdot4=24.

This is least because

f(x)=\sin(\frac{\pi x}{12})

satisfies the equation and has fundamental period

24.

Hence D is correct.

El Problema 27 en otros años