Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

1984 AMC 12 Problema 27

Intenta el Problema 27 del 1984 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1984 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

27.

En △ABC,\triangle ABC, DD está en ACAC y FF está en BC.BC. Además, AB⊥AC,AB\perp AC, AF⊥BC,AF\perp BC, y BD=DC=FC=1.BD=DC=FC=1. Halla AC.AC.
In △ABC,\triangle ABC, DD is on ACAC and FF is on BC.BC. Also, AB⊥AC,AB\perp AC, AF⊥BC,AF\perp BC, and BD=DC=FC=1.BD=DC=FC=1. Find AC.AC.
2\sqrt2
3\sqrt3
23\sqrt[3]{2}
33\sqrt[3]{3}
34\sqrt[4]{3}
Respuesta: C
Conceptos:triángulo rectángulosemejanzaley de los cosenos
Nivel de dificultad: 2350
Pista pequeña:
Sea AC=sAC=s y usa la relación de semejanza entre la altura y la hipotenusa
Let AC=sAC=s and use the altitude-to-hypotenuse similarity relation
Pista grande:
Después compara cos⁡∠ACB\cos\angle ACB en el triángulo rectángulo ABCABC y el triángulo isósceles BDCBDC
Then compare cos⁡∠ACB\cos\angle ACB in right triangle ABCABC and isosceles triangle BDCBDC
Solución:
Sea AC=s.AC=s. La relación de proyección en el triángulo rectángulo da AC2=FC⋅BC, AC^2=FC\cdot BC, por lo que BC=s2.BC=s^2. Como BD=DC=1,BD=DC=1, el numerador y el denominador de la ley de cosenos satisfacen BC2+DC2−BD2=s4,2(BC)(DC)=2s2. \begin{aligned} BC^2+DC^2-BD^2&=s^4,\\ 2(BC)(DC)&=2s^2. \end{aligned} Por tanto, cos⁡∠BCD=s22.\cos\angle BCD=\frac{s^2}{2}. Pero DD está en AC,AC, y en el triángulo rectángulo ABC,ABC, cos⁡∠BCA=ACBC=1s.\cos\angle BCA=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{s}. Así, s22=1s,\frac{s^2}{2}=\frac{1}{s}, de modo que s3=2s^3=2 y AC=23.AC=\sqrt[3]{2}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let AC=s.AC=s. The right-triangle projection relation gives AC2=FC⋅BC, AC^2=FC\cdot BC, so BC=s2.BC=s^2. Since BD=DC=1,BD=DC=1, the numerator and denominator in the Law of Cosines satisfy BC2+DC2−BD2=s4,2(BC)(DC)=2s2. \begin{aligned} BC^2+DC^2-BD^2&=s^4,\\ 2(BC)(DC)&=2s^2. \end{aligned} Hence cos⁡∠BCD=s22.\cos\angle BCD=\frac{s^2}{2}. But DD lies on AC,AC, and in right triangle ABC,ABC, cos⁡∠BCA=ACBC=1s.\cos\angle BCA=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{s}. Thus s22=1s,\frac{s^2}{2}=\frac{1}{s}, so s3=2s^3=2 and AC=23.AC=\sqrt[3]{2}.
Therefore, the correct answer is C.
Problema 26#26
Examen completo
Problema 28#28

El Problema 27 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12