Question

Un silo (cilindro circular recto) de diámetro $20$ metros se alza en un campo. MacDonald está ubicado $20$ metros al oeste y $15$ metros al sur del centro del silo. McGregor está ubicado $20$ metros al este y $g \gt 0$ metros al sur del centro del silo. La línea de visión entre MacDonald y McGregor es tangente al silo. El valor de $g$ se puede escribir como $\dfrac{a\sqrt{b} - c}{d},$ donde $a, b, c,$ y $d$ son enteros positivos, $b$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, y $d$ es primo relativo con el máximo común divisor de $a$ y $c.$ ¿Cuánto vale $a + b + c + d$ ?

A silo (right circular cylinder) with diameter $20$ meters stands in a field. MacDonald is located $20$ meters west and $15$ meters south of the center of the silo. McGregor is located $20$ meters east and $g \gt 0$ meters south of the center of the silo. The line of sight between MacDonald and McGregor is tangent to the silo. The value of $g$ can be written as $\dfrac{a\sqrt{b} - c}{d},$ where $a, b, c,$ and $d$ are positive integers, $b$ is not divisible by the square of any prime, and $d$ is relatively prime to the greatest common divisor of $a$ and $c.$ What is $a + b + c + d?$

$119$

$120$

$121$

$122$

$123$

Respuesta: A

Conceptos:recta tangente geometría analítica cuadrática

Nivel de dificultad: 2080

Solución:

Pon el centro del silo en el origen con radio $10.$ Entonces MacDonald está en $D = (-20, -15)$ y McGregor en $G = (20, -g).$ La longitud de la tangente desde $D$ es $DT = \sqrt{DS^2 - 10^2}$ $= \sqrt{25^2 - 100}$ $= \sqrt{525},$ y desde $G$ es $TG = \sqrt{g^2 + 20^2 - 10^2}.$ El punto de tangencia $T$ está entre los dos hombres, así que $DG = DT + TG.$ Pero además $DG = \sqrt{40^2 + (15 - g)^2}.$ Eleva al cuadrado dos veces y simplifica: $3g^2 + 150g - 925 = 0.$ lo que da $g = \frac{20\sqrt{21} - 75}{3}.$ Así que $a + b + c + d$ $= 20 + 21 + 75 + 3$ $= 119.$ Por lo tanto, la respuesta es A.

Put the silo's center at the origin with radius $10.$ Then MacDonald is at $D = (-20, -15)$ and McGregor at $G = (20, -g).$ The tangent length from $D$ is $DT = \sqrt{DS^2 - 10^2}$ $= \sqrt{25^2 - 100}$ $= \sqrt{525},$ and from $G$ it is $TG = \sqrt{g^2 + 20^2 - 10^2}.$ The tangent point $T$ sits between the two men, so $DG = DT + TG.$ But also $DG = \sqrt{40^2 + (15 - g)^2}.$ Squaring twice and simplifying gives $3g^2 + 150g - 925 = 0.$ Its positive root, which satisfies the original tangent-length equation, is $g = \frac{20\sqrt{21} - 75}{3}.$ Therefore $a + b + c + d$ $= 20 + 21 + 75 + 3$ $= 119.$ Thus, A is the correct answer.

2025 AMC 10A Problema 20

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2080

Solución:

El Problema 20 en otros años