Question

Sea $S$ un subconjunto de $\{1, 2, 3, \ldots, 2024\}$ tal que se cumplan las dos condiciones siguientes:

• Si $x$ e $y$ son elementos distintos de $S,$ entonces $|x - y| \gt 2.$

• Si $x$ e $y$ son elementos impares distintos de $S,$ entonces $|x - y| \gt 6.$

¿Cuál es el máximo número posible de elementos en $S$ ?

Let $S$ be a subset of $\{1, 2, 3, \ldots, 2024\}$ such that the following two conditions hold:

• If $x$ and $y$ are distinct elements of $S,$ then $|x - y| \gt 2.$

• If $x$ and $y$ are distinct odd elements of $S,$ then $|x - y| \gt 6.$

What is the maximum possible number of elements in $S?$

$436$

$506$

$608$

$654$

$675$

Respuesta: C

Conceptos:arreglos con restricciones argumento extremal optimización

Nivel de dificultad: 2080

Solución:

Las dos condiciones dicen que los números elegidos difieren en al menos $3$ , y que los impares elegidos difieren en al menos $7$ . Cuatro números en un bloque de $10$ necesitarían tres separaciones de al menos $3,$ así que tendrían que ocupar las posiciones $r,r+3,r+6,r+9.$ Dos de las posiciones impares diferirían entonces en $6,$ lo cual está prohibido. Por tanto, cada bloque completo de $10$ contiene como máximo $3$ números elegidos, y las últimas cuatro posiciones contienen como máximo $2.$ Esto da la cota superior $202\cdot3+2=608.$ La cota se alcanza con el patrón $1,4,8,11,14,18,\ldots$ (los residuos $1,4,8\pmod{10}$ ), junto con $2021,2024.$ Los valores elegidos adyacentes difieren en al menos $3,$ y los impares elegidos difieren en $10$ . Por lo tanto, la respuesta es C.

The two conditions say chosen numbers are at least $3$ apart, and chosen odd numbers at least $7$ apart. Any four numbers in a block of $10$ would need three gaps of at least $3,$ so they would have to occupy positions $r,r+3,r+6,r+9.$ Two of the odd entries would then differ by $6,$ which is forbidden. Thus each full block of $10$ contains at most $3$ choices, and the last four positions contain at most $2.$ This gives the upper bound $202\cdot3+2=608.$ It is attained by the pattern $1,4,8,11,14,18,\ldots$ (residues $1,4,8\pmod{10}$ ), together with $2021,2024.$ Adjacent selected values differ by at least $3,$ and the selected odd values are $10$ apart. Therefore, the answer is C.

2024 AMC 10A Problema 20

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2080

Solución:

El Problema 20 en otros años