Question

En el cuadrado $ABCD,$ los puntos $P$ y $Q$ están sobre $\overline{AD}$ y $\overline{AB},$ respectivamente. Los segmentos $\overline{BP}$ y $\overline{CQ}$ se cortan en ángulo recto en $R,$ con $BR = 6$ y $PR = 7.$ ¿Cuál es el área del cuadrado?

In square $ABCD,$ points $P$ and $Q$ lie on $\overline{AD}$ and $\overline{AB},$ respectively. Segments $\overline{BP}$ and $\overline{CQ}$ intersect at right angles at $R,$ with $BR = 6$ and $PR = 7.$ What is the area of the square?

$85$

$93$

$100$

$117$

$125$

Respuesta: D

Conceptos:cuadrado (geometría)congruencia (geometría)semejanza Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

Como $BR=6$ y $PR=7,$ tenemos $BP=13.$ Al seguir los ángulos rectos y los ángulos del cuadrado se obtiene $\triangle PAB\cong\triangle QBC,$ así que $CQ=BP=13.$

Como $BP\perp CQ,$ el punto $R$ es el pie de la altura desde $B$ hasta la hipotenusa $CQ$ del triángulo rectángulo $BQC.$ Por lo tanto, $QR\cdot RC=BR^2=36$ y $QR+RC=CQ=13.$

Así, $QR$ y $RC$ son $4$ y $9.$ Como $P$ está en $\overline{AD},$ tenemos $AP\le AB.$ La congruencia da $BQ=AP,$ mientras que las fórmulas de proyección para triángulos rectángulos dan $BQ^2=CQ\cdot QR$ y $BC^2=CQ\cdot RC.$ Por consiguiente, $QR\le RC,$ de modo que $QR=4$ y $RC=9.$ Entonces, $\begin{aligned} BC^2&=BR^2+RC^2\\ &=6^2+9^2\\ &=117. \end{aligned}$

El área del cuadrado es $117.$

Así, la respuesta es D.

Since $BR=6$ and $PR=7,$ we have $BP=13.$ The right-angle and square-angle chasing gives $\triangle PAB\cong\triangle QBC,$ so $CQ=BP=13.$

Because $BP\perp CQ,$ point $R$ is the foot of the altitude from $B$ to the hypotenuse $CQ$ of right triangle $BQC.$ Thus $QR\cdot RC=BR^2=36$ and $QR+RC=CQ=13.$

So $QR$ and $RC$ are $4$ and $9.$ Because $P$ lies on $\overline{AD},$ we have $AP\le AB.$ Congruence gives $BQ=AP,$ while the right-triangle projection formulas give $BQ^2=CQ\cdot QR$ and $BC^2=CQ\cdot RC.$ Hence $QR\le RC,$ so $QR=4$ and $RC=9.$ Therefore, $\begin{aligned} BC^2&=BR^2+RC^2\\ &=6^2+9^2\\ &=117. \end{aligned}$

The area of the square is $117.$

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Fall Problema 15

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

El Problema 15 en otros años