Question

Supón que $S$ es un conjunto finito de enteros positivos.

Si se elimina de $S$ el mayor entero de $S,$ entonces el valor promedio (media aritmética) de los enteros restantes es $32.$ Si además se elimina el menor entero de $S$ entonces el valor promedio de los enteros restantes es $35.$ Si luego se devuelve el mayor entero al conjunto, el valor promedio sube a $40.$ El mayor entero del conjunto original $S$ es $72$ mayor que el menor entero de $S.$

¿Cuál es el valor promedio de todos los enteros del conjunto $S$ ?

Suppose that $S$ is a finite set of positive integers.

If the greatest integer in $S$ is removed from $S,$ then the average value (arithmetic mean) of the integers remaining is $32.$ If the least integer in $S$ is also removed, then the average value of the integers remaining is $35.$ If the greatest integer is then returned to the set, the average value of the integers rises to $40.$ The greatest integer in the original set $S$ is $72$ greater than the least integer in $S.$

What is the average value of all the integers in the set $S?$

$36.2$

$36.4$

$36.6$

$36.8$

$37$

Respuesta: D

Conceptos:media sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1540

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $s,$ la suma de todos los enteros; $g,$ el mayor; $l,$ el menor; y $n,$ el número de elementos de $S.$

Los dos promedios de conjuntos con $n-1$ elementos dan $\begin{aligned} s-l&=40(n-1),\\ s-g&=32(n-1). \end{aligned}$ Al restar y usar $g-l=72$ , se obtiene $72=8(n-1),$ así que $n=10.$

Al eliminar ambos extremos quedan $8$ números cuya suma es $8\cdot35=280.$ Por otra parte, al eliminar solo el menor queda una suma de $9\cdot40=360,$ por lo que $g=360-280=80.$ Entonces $l=80-72=8,$ y la suma original es $s=280+80+8=368.$

El promedio pedido es $\frac{s}{n}=\frac{368}{10}=36.8.$

Así, la respuesta es D.

Let the sum of all the integers be $s,$ the greatest number be $g,$ the least number be $l,$ and the size of $S$ be $n.$

The two averages of sets with $n-1$ elements give $\begin{aligned} s-l&=40(n-1),\\ s-g&=32(n-1). \end{aligned}$ Subtracting and using $g-l=72$ gives $72=8(n-1),$ so $n=10.$

Removing both extremes leaves $8$ numbers with sum $8\cdot35=280.$ On the other hand, removing only the least number leaves a sum of $9\cdot40=360,$ so $g=360-280=80.$ Hence $l=80-72=8,$ and the original sum is $s=280+80+8=368.$

The required average is $\frac{s}{n}=\frac{368}{10}=36.8.$

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Spring Problema 19

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1540

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 19 en otros años