Question

El área de la región limitada por la gráfica de es $m+n\pi,$ donde $m$ y $n$ son enteros. ¿Cuánto vale $m + n$ ? $x^2+y^2 = 3|x-y| + 3|x+y|$

The area of the region bounded by the graph of $x^2+y^2 = 3|x-y| + 3|x+y|$ is $m+n\pi,$ where $m$ and $n$ are integers. What is $m + n?$

$18$

$27$

$36$

$45$

$54$

Respuesta: E

Conceptos:valor absoluto círculo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

Considera los cuatro casos de signo para $x-y$ y $x+y.$ En un caso, por ejemplo, $|x-y|=x-y$ y $|x+y|=x+y,$ así que

$\begin{gathered} x^2+y^2=6x \\ \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^2+y^2=9. \end{gathered}$

Los otros tres casos dan de manera similar circunferencias de radio $3$ centradas en $(0,3),$ $(-3,0),$ y $(0,-3).$ Los arcos relevantes forman la frontera mostrada por estas cuatro piezas de circunferencia congruentes.

La región consta de un cuadrado central de lado $6,$ junto con cuatro semicírculos de radio $3.$ El cuadrado aporta un área de $36,$ y los cuatro semicírculos tienen el área de dos circunferencias completas de radio $3$ , es decir, $18\pi.$

Por lo tanto, el área es $36+18\pi,$ de modo que $m+n=36+18=54.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Consider the four sign cases for $x-y$ and $x+y.$ In one case, for example, $|x-y|=x-y$ and $|x+y|=x+y,$ so

$\begin{gathered} x^2+y^2=6x \\ \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^2+y^2=9. \end{gathered}$

The other three cases similarly give circles of radius $3$ centered at $(0,3),$ $(-3,0),$ and $(0,-3).$ The relevant arcs form the boundary shown by these four congruent circle pieces.

The region consists of a central square of side length $6,$ together with four semicircles of radius $3.$ The square contributes area $36,$ and the four semicircles have the area of two full radius- $3$ circles, namely $18\pi.$

Therefore the area is $36+18\pi,$ so $m+n=36+18=54.$

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 19

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

El Problema 19 en otros años