Question

Una caja cerrada de base cuadrada se va a envolver con una hoja cuadrada de papel. La caja se centra sobre el papel, con los vértices de la base sobre las líneas medias de la hoja cuadrada, como muestra la figura izquierda. Las cuatro esquinas del papel se doblan sobre los lados de la caja y se juntan en el centro de la cara superior, el punto $A$ de la figura derecha. La base de la caja tiene lado $w$ y altura $h.$ ¿Cuál es el área de la hoja de papel?

A closed box with a square base is to be wrapped with a square sheet of wrapping paper. The box is centered on the wrapping paper with the vertices of the base lying on the midlines of the square sheet of paper, as shown in the figure on the left. The four corners of the wrapping paper are to be folded up over the sides and brought together to meet at the center of the top of the box, point $A$ in the figure on the right. The box has base length $w$ and height $h.$ What is the area of the sheet of wrapping paper?

$2(w + h)^2$

$\dfrac{(w + h)^2}{2}$

$2w^2 + 4wh$

$2w^2$

$w^2 h$

Respuesta: A

Conceptos:plegado de papel Teorema de Pitágoras cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1730

Solución:

Sea el lado de la hoja igual a $s.$ La base se dispone como un cuadrado de lado $w$ girado $45^\circ,$ así que el centro está a $\tfrac{w}{2}$ de cada borde de la base. Una esquina de la hoja está a $\tfrac{s}{\sqrt2}$ del centro. Doblar esa esquina hasta el centro superior traza una línea recta: $\tfrac{w}{2}$ hasta el borde de la base, luego $h$ subiendo por el lado, y luego $\tfrac{w}{2}$ cruzando la parte superior. Así que $\tfrac{s}{\sqrt2} = \tfrac{w}{2} + h + \tfrac{w}{2} = w + h.$ Entonces $s = \sqrt2\,(w + h),$ y el área es $s^2 = 2(w + h)^2.$ Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let the sheet have side $s.$ The base sits as a square of side $w$ turned $45^\circ,$ so the center is $\tfrac{w}{2}$ from each base edge. A corner of the sheet lies $\tfrac{s}{\sqrt2}$ from the center. Folding that corner up to the top center traces a straight line: $\tfrac{w}{2}$ out to the base edge, then $h$ up the side, then $\tfrac{w}{2}$ across the top. So $\tfrac{s}{\sqrt2} = \tfrac{w}{2} + h + \tfrac{w}{2} = w + h.$ Then $s = \sqrt2\,(w + h),$ and the area is $s^2 = 2(w + h)^2.$ Thus, A is the correct answer.

2018 AMC 10B Problema 15

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1730

Solución:

El Problema 15 en otros años