Question

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Prolonga el lado $\overline{AB}$ más allá de $B$ hasta un punto $B'$ de modo que $BB'=3 \cdot AB.$ De manera similar, prolonga el lado $\overline{BC}$ más allá de $C$ hasta un punto $C'$ de modo que $CC'=3 \cdot BC,$ y prolonga el lado $\overline{CA}$ más allá de $A$ hasta un punto $A'$ de modo que $AA'=3 \cdot CA.$

¿Cuál es la razón entre el área del $\triangle A'B'C'$ y el área del $\triangle ABC$ ?

Let $ABC$ be an equilateral triangle. Extend side $\overline{AB}$ beyond $B$ to a point $B'$ so that $BB'=3 \cdot AB.$ Similarly, extend side $\overline{BC}$ beyond $C$ to a point $C'$ so that $CC'=3 \cdot BC,$ and extend side $\overline{CA}$ beyond $A$ to a point $A'$ so that $AA'=3 \cdot CA.$

What is the ratio of the area of $\triangle A'B'C'$ to the area of $\triangle ABC?$

$9:1$

$16:1$

$25:1$

$36:1$

$37:1$

Respuesta: E

Conceptos:razón de áreas triángulo equilátero área del triángulo

Nivel de dificultad: 1860

Solución:

Sea $X$ el área de $\triangle ABC.$ Cada uno de $\triangle BB'C,$ $\triangle CC'A,$ y $\triangle AA'B$ tiene una base tres veces tan larga como un lado correspondiente de $\triangle ABC$ y la misma altura. Por tanto, cada uno tiene área $3X.$

Luego, $\triangle AA'C'$ tiene tres veces la base y la misma altura que $\triangle ACC',$ cuya área es $3X.$ Así, $\triangle AA'C'$ tiene área $9X.$ Del mismo modo, $\triangle CC'B'$ y $\triangle BB'A'$ tienen área $9X.$

Estas siete regiones forman el triángulo grande, así que $\begin{aligned}[A'B'C']&=X+3(3X)+3(9X)\\&=37X.\end{aligned}$ La razón pedida es $37:1.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let $X$ be the area of $\triangle ABC.$ Each of $\triangle BB'C,$ $\triangle CC'A,$ and $\triangle AA'B$ has a base three times as long as a side of $\triangle ABC$ and the same corresponding altitude. Each therefore has area $3X.$

Next, $\triangle AA'C'$ has three times the base and the same altitude as $\triangle ACC',$ whose area is $3X.$ Thus $\triangle AA'C'$ has area $9X.$ Similarly, $\triangle CC'B'$ and $\triangle BB'A'$ each have area $9X.$

These seven regions partition the large triangle, so $\begin{aligned}[A'B'C']&=X+3(3X)+3(9X)\\&=37X.\end{aligned}$ The requested ratio is $37:1.$

Thus, the correct answer is E .

2017 AMC 10B Problema 19

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1860

Solución:

El Problema 19 en otros años