Question

Una homotecia del plano, es decir, una transformación de tamaño con factor de escala positivo, envía el círculo de radio $2$ con centro en $A(2,2)$ al círculo de radio $3$ con centro en $A'(5,6).$ ¿Qué distancia se mueve el origen $O(0,0),$ bajo esta transformación?

A dilation of the plane—that is, a size transformation with a positive scale factor—sends the circle of radius $2$ centered at $A(2,2)$ to the circle of radius $3$ centered at $A'(5,6).$ What distance does the origin $O(0,0),$ move under this transformation?

$\ 0$

$\ 3$

$\ \sqrt{13}$

$\ 4$

$\ 5$

Respuesta: C

Conceptos:homotecia geometría analítica vector

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

El factor de escala de la homotecia es $\frac32$ , pues el radio cambia de $2$ a $3$ . El centro de la homotecia $C$ está sobre la recta que pasa por $A(2,2)$ y $A'(5,6)$ .

El vector de $A$ a $A'$ es $(3,4)$ . Si $C$ es el centro de la homotecia, entonces el factor de escala da $A'-A=\frac12(A-C).$ Por tanto, $A-C=2(3,4)$ , y así $C=(2,2)-2(3,4)=(-4,-6).$

Bajo una homotecia de factor $\frac32$ con centro en $C$ , cada punto se desplaza la mitad de su distancia a $C$ . Como $CO=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2}=\sqrt{52}$ , el origen se desplaza $\frac12\sqrt{52}=\sqrt{13}$ .

Así, la respuesta correcta es C.

The dilation scale factor is $\frac32$ , since the radius changes from $2$ to $3$ . The center of dilation $C$ lies on the line through $A(2,2)$ and $A'(5,6)$ .

The vector from $A$ to $A'$ is $(3,4)$ . If $C$ is the dilation center, then the scale factor gives $A'-A=\frac12(A-C).$ Thus $A-C=2(3,4)$ , so $C=(2,2)-2(3,4)=(-4,-6).$

Under a scale factor $\frac32$ dilation about $C$ , a point moves by half its distance from $C$ . Since $CO=\sqrt{(-4)^2+(-6)^2}=\sqrt{52}$ , the origin moves $\frac12\sqrt{52}=\sqrt{13}$ .

Thus, the correct answer is C.

2016 AMC 10B Problema 20

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

El Problema 20 en otros años