Question

Todos los números $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9$ se escriben en un arreglo de casillas $3\times3$ , un número en cada casilla, de tal manera que si dos números son consecutivos entonces ocupan casillas que comparten un lado. Los números en las cuatro esquinas suman $18.$ ¿Cuál es el número en el centro?

All the numbers $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9$ are written in a $3\times3$ array of squares, one number in each square, in such a way that if two numbers are consecutive then they occupy squares that share an edge. The numbers in the four corners add up to $18.$ What is the number in the center?

$\ 5$

$\ 6$

$\ 7$

$\ 8$

$\ 9$

Respuesta: C

Conceptos:paridad deducción lógica

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

Coloreemos el arreglo como un tablero de ajedrez, con el centro y las cuatro esquinas de un color y los cuatro cuadrados laterales del otro. Los números consecutivos ocupan cuadrados adyacentes, por lo que el camino $1,2,\ldots,9$ alterna colores. Así, los cinco números impares ocupan una clase de color y los cuatro pares, la otra.

La clase formada por el centro y las cuatro esquinas tiene cinco cuadrados, así que contiene los cinco números impares. Por tanto, la suma de las esquinas y el centro es $1+3+5+7+9=25.$

Como las esquinas suman $18,$ el centro vale $25-18=7.$

Así, la respuesta correcta es C.

Color the array like a checkerboard, with the center and four corners one color and the four edge squares the other color. Consecutive numbers occupy adjacent squares, so the path $1,2,\ldots,9$ alternates colors. Therefore all five odd numbers occupy one color class and all four even numbers occupy the other.

The color class consisting of the center and four corners has five squares, so it contains the five odd numbers. Hence the sum of the corners and center is $1+3+5+7+9=25.$

Since the corners have a sum of $18,$ the center has a value of $25-18=7.$

Thus, the correct answer is C .

2016 AMC 10B Problema 15

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

El Problema 15 en otros años