Question

El producto $(8)(888\dots8),$ donde el segundo factor tiene $k$ dígitos, es un entero cuyos dígitos suman $1000.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

The product $(8)(888\dots8),$ where the second factor has $k$ digits, is an integer whose digits have a sum of $1000.$ What is $k?$

$901$

$911$

$919$

$991$

$999$

Respuesta: D

Conceptos:dígitos reconocimiento de patrones inducción

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Para ver si existe algún patrón, podemos probar valores pequeños de $k$ $8$ $8\frac{10^k-1}{9}$ $k\ge2$ $7$ $k-2$ $0,4$ $\begin{aligned} 64\frac{10^k-1}{9} &=7\cdot10^k\\ &\quad+100\frac{10^{k-2}-1}{9}\\ &\quad+4. \end{aligned}$

Tenemos que A partir de esto, es bastante seguro suponer que por cada incremento de se agrega un más al producto. Si sabes usar inducción, puedes demostrar que este patrón se cumple, pero eso no es necesario para resolver el problema. Esto significa que para cualquier $k \geq 3,$ la suma de los dígitos del producto es $7 + 4 + 0 + k - 2 = k + 9.$

Finalmente, obtenemos $k + 9 = 1000$ $k = 991.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The $k$ -digit number made entirely of $8$ s is $8\frac{10^k-1}{9}$ , so the product is $\begin{aligned} 64\frac{10^k-1}{9} &=7\cdot10^k\\ &\quad+100\frac{10^{k-2}-1}{9}\\ &\quad+4. \end{aligned}$ For $k\ge2$ , this is the number whose digits are $7$ , followed by $k-2$ ones, then $0,4$ .

This means that for any $k \geq 3,$ the sum of the digits in the product is $7 + 4 + 0 + k - 2 = k + 9.$

Finally, we get $k + 9 = 1000$ $k = 991.$

Thus, D is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 20

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

El Problema 20 en otros años