Question

Se seleccionan de forma independiente y al azar dos puntos en la circunferencia de un círculo de radio $r$ . Desde cada punto se traza una cuerda de longitud $r$ en dirección horaria. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cuerdas se intersequen?

Two points on the circumference of a circle of radius $r$ are selected independently and at random. From each point a chord of length $r$ is drawn in a clockwise direction. What is the probability that the two chords intersect?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad geométrica cuerda arco

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

Una cuerda de longitud $r$ en un círculo de radio $r$ subtiende un arco de $60^\circ$ . Fijemos la primera cuerda, con extremos en los ángulos $0^\circ$ y $60^\circ.$ Si la segunda cuerda comienza en el ángulo $\theta,$ su otro extremo está $60^\circ$ en sentido horario desde allí.

Los extremos de las dos cuerdas se alternan exactamente cuando $\theta$ pertenece a uno de los dos arcos de $60^\circ$ inmediatamente adyacentes a los extremos de la cuerda fija. Por tanto, las posiciones iniciales favorables ocupan $120^\circ$ del círculo.

La probabilidad buscada es $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

A chord of length $r$ in a circle of radius $r$ subtends a $60^\circ$ arc. Fix the first chord, with endpoints at angles $0^\circ$ and $60^\circ.$ If the second chord starts at angle $\theta,$ its other endpoint is $60^\circ$ clockwise from there.

The endpoints of the two chords alternate exactly when $\theta$ lies in either of the two $60^\circ$ arcs immediately adjacent to the fixed chord's endpoints. Thus the favorable starting positions occupy $120^\circ$ of the circle.

The desired probability is then $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.$

Thus, D is the correct answer.

2011 AMC 10A Problema 20

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

El Problema 20 en otros años