2009 AMC 10B Problema 20

Question

El triángulo

ABC

tiene un ángulo recto en

B,

AB=1,

y

BC=2.

La bisectriz de

\angle BAC

corta a

\overline{BC}

en

D.

¿Cuánto vale

BD

?

Triangle

ABC

has a right angle at

B,

AB=1,

and

BC=2.

The bisector of

\angle BAC

meets

\overline{BC}

at

D.

What is

BD?

\dfrac{\sqrt3-1}{2}

\dfrac{\sqrt5-1}{2}

\dfrac{\sqrt5+1}{2}

\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}

2\sqrt3-1

Por el Teorema de la Bisectriz,

\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}

.

By the Angle Bisector Theorem,

\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}

AC=\sqrt5

y

BD+DC=2

.

AC=\sqrt5

and

BD+DC=2

Por el Teorema de Pitágoras,

AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.

El Teorema de la Bisectriz da

\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt5},

así que

DC=\sqrt5\,BD.

Como

BD+DC=2,

tenemos

BD(1+\sqrt5)=2,

así que

BD=\dfrac{2}{1+\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By the Pythagorean Theorem,

AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5.

The Angle Bisector Theorem gives

\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt5},

so

DC=\sqrt5\,BD.

Since

BD+DC=2,

we have

BD(1+\sqrt5)=2,

so

BD=\dfrac{2}{1+\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 20 en otros años